算法导论 5.2-4

1 题目

利用指示器随机变量来解决帽子保管问题（hat-check problem）：有n为顾客，他们每个人给餐厅负责保管帽子的服务生一顶帽子。服务生以随机的顺序将帽子归还给顾客。请问拿到自己帽子的客户的期望数目是多少？

2 分析与解答

设X是拿到自己帽子的客户的数目的随机变量。X_ij 是第i位客人拿到第j位客人帽子这个事件的指示器随机变量，即X_ij = I{第i位客人拿到第j位客人的帽子}。

所以X = ∑_j=i X_ij ，E(X) = E(∑_j=i X_ij) = ∑_j=i E(X_ij )，

E(X) = E(X₁₁ ) + E(X₂₂) + … + E(X_nn )

=Pr{第1个客人拿到自己的帽子}+Pr{第2个客人拿到自己的帽子}+…+Pr{第n个客人拿到自己的帽子}

因为服务生归还帽子的顺序是随机的，就是说顾客i的帽子在n个位置的任意一个，所以i顾客拿到每个帽子的概率都是是1/n，即Pr{第i个客人拿到第j个客人的帽子}=1/n。

所以E(X)=n*1/n=1。即拿到自己帽子的客户的期望是1。