图之四（最短路径）

1.        最短路径

1.1.       最短路径：

是带权有向图中，一个顶点u到另一顶点v之间权值最小的路径，最短路径可能不止一条。

最短路径不能含有负权回路，否则在负权回路上循环则可以达到负无穷大；也不能有正权回路，否则从路径上去掉回路后，可以产生有向图源点和终点、权值更小的路径。

因此最多有0权回路，而这时一定还有另外一条无回路的最短路径。因此可以将路径上的的0权回路都去掉。因此可以假定最短路径是无回路的。

1.2.       最短路径问题

²  单源点最短路径（求已知顶点到其余所有顶点的最短路径）

²  单终点最短路径（求图中任何顶点到特定顶点的最短路径；将边反向，转换为单源点问题）

²  单对顶点最短路径（已知顶点，已知终点的最短路径；在求单源的时候判断终点是否为所求终点即可）

²  每对顶点之间最短路径。

因此前三类可以归为一类；最后一类当然可以用单源点的方法对每个顶点循环一次，但这样复杂度太高，有更好的算法。

1.3.       最短路径的最优子结构

最短路径包含路径上任何两点之间的最短路径。

如果包含负权边，但无负权回路。则最短路径仍然成立，否则如果含有负权回路，则可以绕回路，权值可以为负的无穷大。

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法只处理正权的图。

贝尔曼--福特（Bellman--Ford）算法可以处理负权边的情况，如果没有负权回路则计算返回成功，并处理结果；如果有负权回路，则返回失败。

1.4.       松弛技术

对每个顶点v，都设置一个属性d，代表当前从s到v的最短路径上权值的上界。称为最短路径估计。并设置一个属性p，代表最短路径树上v的父节点。

初始化时将所有顶点的d设置为无穷大，p设置为NIL。

松弛是对边(u,v)进行松弛，边为u到v的边。如果dv>du+w(u,v)，即v的d值比u的d与边(u,v)的权大，则表示v有新的权值更小的路径，因此修改d域和p域。

不同算法的不同之处在于对边进行松弛的次数以及顺序。迪杰斯特拉算法对边只做一次松弛。贝尔曼---福特算法则会对边进行多次松弛。

“松弛”的概念主要是表示对边的d值进行减少。

2.        单源点最短路径

2.1.       Dijkstra迪杰斯特拉算法

条件：该算法主要解决带权有向图上的单源点路径算法，且权值非负。

算法思想：（和最小生成树的Prim算法类似，与广度优先算法也有相似地方）设置一个顶点集合S，源点s到S中元素的最短距离为已经确定。初始化时，只有源点s的d值为0，其余为无穷大。另外维护一个优先队列Q（以d域作为键），初始化时包含所有顶点。该队列为未确定最短距离的顶点集合。操作循环的取出最小元素u（也即会删除该元素），取出后u加入到S集合，并对u的所有邻接边进行“松弛”（隐含了需要调整优先队列，因为会修改d域，但并没有确定相应的邻接点v的d域，而只是将d域进行了松弛，这时候v还在Q中，并不在S集合中）。

算法持续进行，直到Q为空为止。

算法只适用于非负权值的原因在于：每次松弛时的点都为最短距离的点，并更新与其其相邻的点的d域，当权值为非负时，不会有一个距离更近的点没有被扩展。也即扩展的时候S中的集合的元素其d域是不会再减少的，因此算法能正确运行。如果扩展的时候有负权边，则会产生更小的权值，S中的集合的最短路径将不再成立。

特别情况，如果只有从s出发的边有可能为负权，其他任何顶点出发的边都不会有负权，且无负权回路，则迪杰斯特拉算法仍然有效。

2.2.       广度优先搜索可以看作权值全为1的最短路径问题，这时候的复杂度比其他的都小。直接用广度优先搜索即可完成。

2.3.       Bellman---Ford算法

条件：可以有负权边，只要没有负权回路即可正确解决。即便有负权回路也可也调整解决。

算法结束时，如果有负权回路则返回false；否则返回true，并计算出结果。

思想：对所有的边进行V-1趟松弛操作，每一趟都循环对所有边松弛一次，每一趟对边的松弛顺序还可以不同。最后再检查每一条边（u，v）。如果dv>du+w(u,v)，即v的边还没有最优松弛，则有负权回路。否则没有，且dv即为最短路径的值。

2.4.       有向无回路图（DAG）单源点最短路径（以及关键路径）

特点：DAG图也即拓扑有序图，因此不存在回路，因此可以有负权边。

思想：算法先对DAG进行拓扑排序，再初始化d域和p域，以及源点的d域和p域。再对顶点按照拓扑排序的方式，对每个顶点的出边进行松弛。松弛完后即得结果。

关键路径求解：方法一是在以上算法中将权值取反（正权变负，负权变正），并运用上述算法；方法二是不修改权，且仍然使用上述算法，但在初始化时，边的d域改为负无穷，且对边松弛的时候，将大于变为小于比较。

3.        每对顶点之间的最短路径问题

3.1.       问题分类

²  如果是无权边，也即权值都相等。则可也用广度优先的方式，对每个顶点作为源点运算一次。

²  非负权边，直接运用迪杰斯特拉以每个顶点运算一次。

²  有负权边，但无负权回路，直接运用贝尔曼---福特算法以每个顶点运算一次。

以上解法都可以，但后两者除了局限外，复杂度也相应较高。因此引进一个更高效的算法。

3.2.       动态规划法（应用矩阵乘法）

算法思想：假设i到j的最多包含m条边的最短路径（与最短路径区别），则对j的前一个节点k（对每一条含义m条边的最短路径），有i，j最短路径为i，k最短路径加上w(k,j)。对m可以作递归，从m为0，直到n-1(因为n个顶点，最长的简单路径为n-1条边)。边的权值矩阵为m=1的情况。最后的最短路径矩阵为m=n-1的值。

由于权由邻接矩阵表示，因此递归求解的时候可以使用矩阵乘法的性质减少计算。

3.3.       动态规划（Floyd—Warshall，弗洛伊德算法）

算法思想：不是考虑“m条边”。而是考虑最短路径的中间点（路径上除了起点和终点的其他顶点）。并考虑中间点的下标的与{1,2,…k-1}的关系。如果中间点经过k，则最(i,j)短路径可以分解为(i,k),(k,j)；如果中间点不经过k，则最短路径中间点只与{1,2…k-1}相关。（k为中间路径上的顶点下标最大的下标值）从而最短路径d(I,j)(k)为d(I,j)(k-1)与d(I,k)(k-1)+d(k,j)(k-1)中小的一个。

三重循环中对d(I,j)(k)进行松弛。

闭包问题。

3.4.       稀疏图上的Johnson算法

思想：如果权值非负，则用迪杰斯特拉算法。否则对边的权值进行调整。

使用顶点的任何一个实值函数h：V->R作为辅助。

新的权值为：w～（u，v）=w(u,v)+h(u)-h(v)。则这两者有相同的最短路径，而且如果也同时有负权回路。