最大流算法

流网络的三个性质

容量限制：对所有的u,v∈v,f(u,v)<=c(u,v)

反对称性：f(u,v)=  -f(v,u)

流守恒性：对于所有的u∈v-{s，t} ，v∈v， ∑f（u，v）=0；

    

       残留网络

残留网络本身也是一个网络流，由可以容纳更多网络流的边组成。

残留容量Cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)

   C(u,v)为正，f（u，v）可正，可负。f（u，v)为正是表示的是正向边，边（u，v)在残留网络中；f（u，v)表示的是反向边，（v,u)在残留网络中。

  

Ford-fulkkerson算法

 FORD-FULKERSON(G, s, t)
1  for each edge (u, v) ∈ E[G]
2       do f[u, v] ← 0
3          f[v, u] ← 0
4  while there exists a path p from s to t in the residual network Gf
5      do cf(p) ← min {cf(u, v) : (u, v) is in p}
6         for each edge (u, v) in p
7             do f[u, v] ← f[u, v] + cf(p)
8                f[v, u] ← -f[u, v]

时间复杂度为O（Ef）

 

  Ek算法

用广度优先算法来搜索残留网络。伪代码如下：

int bfs() 

  queue Q

  push source to Q

  mark source as visited

  keep an array from with the semnification: from[x] is the 

previous vertex visited in the shortest path from the source to x;

initialize from with -1 (or any other sentinel value) 

  while Q is not empty

    where = pop from Q 

    for each vertex next adjacent to where

//这里要改为所有的点，并不是邻接的点，因为流量可以消掉的，

//假设边（u，v）在G中，可以反向流。

      if next is not visited and capacity[where][next] > 0

        push next to Q

        mark next as visited

        from[next] = where

        if next = sink

          exit while loop

    end for

  end while

  // we compute the path capacity

  where = sink, path_cap = infinity

  while from[where] > -1

    prev = from[where] // the previous vertex 

    path_cap = min(path_cap, capacity[prev][where])

    where = prev

  end while

  // we update the residual network; if no path is found the while 

loop will not be entered

  where = sink

  while from[where] > -1

    prev = from[where]

    capacity[prev][where] -= path_capacity

        capacity[where][prev] += path_capacity

    where = prev

  end while

  // if no path is found, path_cap is infinity

  if path_cap = infinity

    return 0

  else return path_cap

上面的伪代码有一点小问题，那就是在搜索where的边时，要搜索所有的边。只要残留容量大于0，就ok了。

参考：算法导论

http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=maxFlow