【数据结构】堆 Heap

1. 堆的定义：

堆(Heap) - 也叫做优先队列(Priority Queue)；二叉堆是一个完全二叉树或近似完全二叉树。满足如下的两个属性:

1 父节点的键值总是大于或等于(小于或等于)它的任意一个子节点的键值(顺序性)；

2 堆总是一个完全二叉树；

将根节点最大的堆叫做最大堆；根节点最小的堆叫做最小堆；

2. 堆的存储：

可以采用数组来表示堆；我们使用下标1作为数组的开始；声明数组X[n + 1]，空出元素X[0]，根位于X[1]，它的两个子节点分别位于X[2]，X[3]，... ...

堆的典型定义如下(数组X满足如下条件)：

{

    root 节点索引：1

    left child(i)    当前节点i的左子节点索引：2 × i

    right child(i) 当前节点i的右子节点索引：2×i + 1

    parent(i)       当前节点i的父节点的索引值：i/2

}

示例如下：X[1, ... ... n]

3. 堆的操作：

两个关键的函数：siftup，siftdown：

3.1. siftup:

描述：现有数组X[1,... ..., n-1]为一个堆，插入一个新的元素在位置X[n]上，新的元素的键值可能小于其父节点，此时需将该节点向上调整，是X[1,... ... n]重新成为一个堆；

/** * @param newItem the new inserted item * @param n       the current index in the array X for the newItem, initially it is the last index of the array + 1 */void siftup(T newItem, int n){    int currentIndex = n;    for (int parentIndex = ParentIndex(currentIndex); parentIndex > 0 && newItem < X[parentIndex]; ){    X[currentIndex] = X[parentIndex];currentIndex = parentIndex;parentIndex = ParentIndex(parentIndex);}}

3.2. siftdown:

描述：现有数组X[1,... ...n]为一个堆,给X[1]分配一个新的值，重新调整使X重新满足堆的条件；

/** * @param n the replaced node index, initially n = 1, replace the root node * @param newItem the new replaced value on X[n] */void siftdown(int n, T newItem){    int currentIndex = n;// If current node owns child node(s), check    while (getLeftChildIndex(currentIndex) > heapSize){    int leftChildIndex = getLeftChildIndex(currentIndex);    int rightChildIndex = getRightChildIndex(currentIndex);    // get the index whose item value is the less one.        int minItemIndex = (rightChildIndex < heapSize) ? (X[leftChildIndex] < X[rightChildIndex] ? leftChildIndex : rightChildIndex) : (leftChildIndex);if (newItem > X[minItemIndex]){    X[currentIndex] = X[minItemIndex]; // swap valuecurrentIndex = minItemIndex;}else{    // exitbreak;}}X[currentIndex] = newItem;}

3.3. 堆插入元素insert：

描述：每次插入都是将新数据放在数组的最后；然后向上调整使其重新满足堆条件；

void insert(T newItem){    siftUp(newItem, heapSize);}

3.4. 堆删除元素delete:

描述：堆中每次只能删除根节点X[1]；为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根节点，然后再向下调整，使其满足堆条件；

T delete(){    T deletedItem = X[1];    heapSize -= 1;    siftdown(1, X[n]);    return deletedItem;}

3.5. 堆排序：

描述：堆X[1, ... ... n]建好之后，X[1]为最小的元素；将X[1]取出，放在X[n]位置上，然后将原来的X[n]放在X[1]上，向下调整，得到新的堆X[1,... ... n - 1]；然后将新堆的X[1]放在X[n - 1]上，X[n - 1]放到X[1]上，siftdown得到新的堆X[1, ... ... n-2]；重复上面过程直到X[1]与X[2]交换为止；

void sort(){    for (int i = n; i > 1; i--){    swap(X[1], X[i]);    heapSize -= 1; // reduce the heap size.    siftdown(1, X[1]); // current X[1] is the new value which is the X[i] before the swaption.}}

3.6. 堆操作的动态演示：

http://www.benfrederickson.com/2013/10/10/heap-visualization.html

4. C++ STL中的堆操作：