数据结构：堆Heap

一、定义

  堆（heap），也叫优先队列(priority queue)，取出元素的顺序是依照元素的优先权(关键字)大小，而不是元素进入队列的先后顺序，也就是说堆的排序是按照自定义的顺序(优先权)。
  比如说，打印机在打印不同文件时，并不是按照文件的先后顺序来打印的，而是由文件是否急需来决定这些文件的打印顺序，这样的模型就是堆模型。
  堆最主要的操作有插入(insert)和删除(deleteMax/deleteMin)两种操作，堆有多种实现方式，比如说数组或链表，也可以采用完全二叉树存储结构来实现，完全二叉树非常适合实现堆，所以提到堆，默认就是树结构，这也是完全二叉树的一个应用，所以这里只讲二叉树实现的C语言代码。如下图所示，堆可分为最大堆和最小堆，最大堆是指子结点的值小于父结点，最小堆是值子结点的值大于父结点，注意，兄弟结点之间没有优先权排序的关系。

  以最大堆为例，12在第一个位置，11在第二个位置，9在第三个位置……

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二、C语言实现

  这里以最大堆的实现为例。

//头文件，文件名：MaxHeap.h#ifndef MAXHEAP_H_INCLUDED#define MAXHEAP_H_INCLUDEDstruct HeapStruct{    //存放堆元素的数组，该数组下标为0的位置不存放堆元素，仅存放哨兵元素    int* heapArr;    int size;//存放堆的当前元素的数目    int capacity;//存放该堆的容量};typedef struct HeapStruct* MaxHeap;MaxHeap createMaxHeap(int);void insert(int, MaxHeap);int find(int, MaxHeap);#endif // MAXHEAP_H_INCLUDED

//堆的具体实现文件，文件名：MaxHeap.c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include "MaxHeap.h"MaxHeap createMaxHeap(int maxSize){    MaxHeap maxHeap = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HeapStruct));    maxHeap->heapArr = (int*)malloc(sizeof(int)*(maxSize+1));    maxHeap->size = 0;    maxHeap->capacity = maxSize;    maxHeap->heapArr[0] = 0;//heapArr数组不存放堆的元素，只存放堆中的最大元素    return maxHeap;}/*查找到元素则返回元素在堆中的位置，否则返回0*/int find(int element, MaxHeap maxHeap){    if(!maxHeap){        printf("该堆不存在\n");        return 0;    }    int i = 1;    for(;i<=maxHeap->size;i++){        if(element == maxHeap->heapArr[i]){            return i;        }    }    return 0;}/*    朝一个堆里插入元素，    原理：先在尾部插入元素，然后将该元素与父结点比较，如果父结点小于该元素，则两个元素互换位置，    这叫采用上滤(percolate up)的方式搜索。*/void insert(int element, MaxHeap maxHeap){    if(!maxHeap){        printf("该堆不存在！\n");        return;    }    if(find(element, maxHeap)){        printf("堆中已存在元素%d，不再插入!\n", element);        return;    }    if(maxHeap->size == maxHeap->capacity){        printf("该堆的容量已满，不能再插入元素了\n");        return;    }else{        /*        因为这里可能需要使用哨兵元素来判断是否结束循环，        所以哨兵元素在插入操作时，必须为待插入元素与该堆最大元素的较大者        判断哨兵元素是否更新，更新后可以作为判断条件，        但是插入数据后一定要将哨兵元素的值恢复成该堆的最大元素        */        if(maxHeap->heapArr[0]<element){            maxHeap->heapArr[0] = element;        }        int i = ++maxHeap->size;        for(;maxHeap->heapArr[i/2]<element;i/=2){            maxHeap->heapArr[i] = maxHeap->heapArr[i/2];        }        maxHeap->heapArr[i] = element;        //最后复原哨兵元素        maxHeap->heapArr[0] = maxHeap->heapArr[1];    }}/*    删除并返回最大堆里的最大的元素    原理：最大堆的最大元素为根结点上的元素，也就是说，等价于给根结点位置重新找子树中最大的元素，合并左右两颗最大堆。先删除最后一个结点n(值替换根结点的值)，从根开始找出当前结点下较大的子结点，然后用这个子结点的值与结点n的值比较，如果大于结点n的值，则这个子结点的值移动到父结点的位置，该子节点的位置作为下一个父结点，继续向下查找；如果小于结点n的值，则停止向下搜索。这叫采用下滤(percolate down)的方式搜索。*/int deleteMax(MaxHeap maxHeap){    int parent, child;//父结点和子结点的位置    if(maxHeap->size == 0){        printf("该最大堆已经不含有结点\n");        return 0;    }    //初始堆里的最大值    int maxItem = maxHeap->heapArr[1];    //将初始堆的最后一个元素赋值给根结点，并且删除最后一个结点    maxHeap->heapArr[1] = maxHeap->heapArr[maxHeap->size--];    int temp = maxHeap->heapArr[1];    //开始循环比较父结点与子结点的大小    //parent*2<=maxHeap->size判断是否有子结点    for(parent=1; parent*2 <= maxHeap->size; parent=child){        child = parent*2;//左子结点的位置        if((child!=maxHeap->size)&&(maxHeap->heapArr[child]<maxHeap->heapArr[child+1])){            //child!=maxHeap->size成立的话，表明该parent结点有右子结点            //maxHeap->heapArr[child]<maxHeap->heapArr[child+1]判断左右子结点的大小            //如果if条件成立，那么parent的右结点比左结点大，此时child指向右结点的位置            child++;        }        if(maxHeap->heapArr[child] > temp){            maxHeap->heapArr[parent] = maxHeap->heapArr[child];        }else{            break;        }    }    maxHeap->heapArr[parent] = temp;    //修改哨兵    maxHeap->heapArr[0] = maxHeap->heapArr[1];    return maxItem;}/*    根据一个数组直接建立堆    而不是一个元素一个元素的插入    原理：先无序将这个元素放入到堆里，    然后按照删除元素的原理(下滤)从第一个含非空子结点(位置：最后一个叶结点的位置/2取整)的元素开始调整*/void createMaxHeapByArray(int arr[], int length, MaxHeap maxHeap){    //MaxHeap maxHeap = createMaxHeap(length);    /*        因为这里数组里的元素并未放到maxHeap->heapArr里面        所以需要把这些元素放进去        其实这里不需要另一个数组，这里为了方便理解由数组建堆的原理，        所以另加了一个数组。    */    maxHeap->size = length;    //将数组元素依次放入完全二叉树里    for(int j=0; j<length; j++){        maxHeap->heapArr[j+1] = arr[j];    }    //开始调整    int i;    for(i = maxHeap->size/2; i>0; i--){        int parent, child, element;        element = maxHeap->heapArr[i];        for(parent = i; parent*2<=maxHeap->size; parent=child){            child = parent*2;            if((child!=maxHeap->size)&&(maxHeap->heapArr[child]<maxHeap->heapArr[child+1])){                child++;            }            if(element >= maxHeap->heapArr[child]){                break;            }else{                maxHeap->heapArr[parent] = maxHeap->heapArr[child];            }        }        maxHeap->heapArr[parent] = element;    }    maxHeap->heapArr[0] = maxHeap->heapArr[1];}

//测试文件，文件名：main.c#include "MaxHeap.h"#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main(){    MaxHeap maxHeap = createMaxHeap(4);    insert(15, maxHeap);    insert(7, maxHeap);    insert(9, maxHeap);    insert(20, maxHeap);    //查找元素7    int position = find(7,maxHeap);    printf("7在第%d个位置\n",position);    //查找不存在的元素21    int pos = find(21,maxHeap);    printf("21在第%d个位置\n",pos);    printf("\n");    for(int i=1;i<=maxHeap->size;i++){        printf("第%d元素为：%d\n", i, maxHeap->heapArr[i]);    }    printf("哨兵为:%d\n", maxHeap->heapArr[0]);    printf("\n");    //重复插入9    insert(9, maxHeap);    printf("\n");    //测试删除最大元素    int maxItem = deleteMax(maxHeap);    printf("删除的最大元素为：%d\n", maxItem);    printf("删除之后的堆为：\n");    for(int i=1;i<=maxHeap->size;i++){        printf("第%d元素为-----%d\n", i, maxHeap->heapArr[i]);    }    printf("哨兵为-----%d\n", maxHeap->heapArr[0]);    //测试直接生成最大堆    printf("\n");    printf("根据数组直接生成最大堆\n");    int arr[5] = {1,2,3,4,5};    MaxHeap newMaxHeap = createMaxHeap(5);    createMaxHeapByArray(arr, 5, newMaxHeap);    for(int m = 1; m<=newMaxHeap->size; m++){        printf("第%d元素为：%d\n", m, newMaxHeap->heapArr[m]);    }    return 0;}//结果：//7在第4个位置//21在第0个位置//第1元素为：20//第2元素为：15//第3元素为：9//第4元素为：7//哨兵为:20//堆中已存在元素9，不再插入!//删除的最大元素为：20//删除之后的堆为：//第1元素为-----15//第2元素为-----7//第3元素为-----9//哨兵为-----15//根据数组直接生成最大堆//第1元素为：5//第2元素为：4//第3元素为：3//第4元素为：1//第5元素为：2