数据结构之堆排序

在数据结构中,堆排序是非常重要的一个知识点,尤其像在期末考试、考研等计算机考试中经常会考察堆排序,并要求画出示意图.下面主要通过一道考研题目讲述堆排序的知识,希望对大家有所帮助.
(文章内容参考严蔚敏的《数据结构》、王道论坛的《数据结构》和自己的一些理解)
参看动态图：http://www.benfrederickson.com/heap-visualization/

一.堆排序定义

堆排序是一种树形选择排序方法,它的特点是在排序过程中,将L[1...n]看成一颗完全二叉树的顺序存储结果,利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系,在当前无序区中选择关键字最大或最小的元素.该算法时间复杂度O(nlong2n),是不稳定排序.
堆的定义:n个元素的序列K[1..n]当且仅当满足:
(1).K[i]<=K[2i]且K[i]<=K[2i+1]  或 (2).K[i]>=K(2i)且K[i]>=K[2i+1] (i=1,2...|_n/2_|) 如下图所示:

满足(1)的堆称为小根堆,满足(2)的堆称为大根堆.
在大根堆中,堆顶元素(完全二叉树的根)必为序列中n个元素的最大值,且对其任一非根结点,它的值不大于其双亲结点值.对应的是最大堆.同理,小根堆定义相反,根节点为最小值.如下图分别是最大堆和最小堆.堆采用的存储方式是顺序存储结构.

二.堆排序实现

堆排序利用堆的特性进行排序,其基本思想是:首先将待排序的记录序列构造成一个堆;然后选出对中所有记录的最小值(最小堆);再把它从堆中输出,并把剩余的元素排成最小堆,依次找次小的记录并输出,直到只有一个记录为止.问题的步骤为:
(1).如何从一个无序序列初始建堆,这是堆排序的关键.(初始建堆)
(2).如何处理堆顶记录.(处理堆顶)
(3).输出堆顶元素后如何调整剩余元素,构建一个新堆.(重新建堆)

例:(改考研题)使用堆排序对序列{38,49,13,97,27,76,65,50}进行排序,要求画出最小堆,并画出堆排序的示意图.
首先按照题目顺序构造一个完全二叉树如下图所示,然后按照下面的"初始建堆"和"堆排序"实现.

1.初始建堆

对初始序列建堆,就是有一个反复筛选的过程.n个结点的完全二叉树,最后一个结点是第|_n/2_|(其中|_x_|表示不大于x的最大整数)个结点的孩子.小根堆其基本思想从|_n/2_|根节点开始,尽量让最小数向二叉树根结点(堆顶)移动,使子树都成为堆.
(1).对第|_n/2_|个结点为根的子树筛选,对于小根堆：如果根结点的关键字大于左右子女结点中关键字较小者,则交换,使子树成为堆.
题中：i=|_8/2_|=4,指向97根结点,大于其左孩子结点50,故交换顺序.如下图.

(2).然后向前依次对各结点(|_n/2_|-1到1)为根的子树进行筛选,看该结点值是否小于其左右子结点,如果不是,将左右子结点中较小者与之交换;交换后可能会破坏下一级的堆,继续采用上述方法构造下一级的堆,直到该结点为根的子树构成堆位置.

  

(3).反复使用上述方法建堆,直到根节点.题中根节点交换时亦要检查器下级堆是否要交换顺序.

2.堆排序

在使用完全二叉树初始建立好如上图的最小堆后,就是对该堆进行排序输出.此时的算法是:

(1).输出堆顶元素,题中堆顶元素=13;输出后以堆中最后一个元素=97替代堆顶元素;然后将根节点值与左右子树的根节点进行比较,并与其中小者进行交换;

(2).重复上述操作,直到叶子节点,将得到的新堆称为这个从堆顶至叶子的调整过程为"筛选".
输出堆顶27,将最后一个元素65替代堆顶元素,再从49和38中选择较小值38,将65与38元素交换.(答题是只画最后交换好的再配上必要文字说明即可)

输出堆顶38,将最后一个元素76替代堆顶元素,再根据方法依次交换76与49,76与50.

输出堆顶49,将最后一个元素97替代堆顶元素,再根据方法依次交换97与50,97与76.

同理一次输出如下:

三.总结

该文章主要是解决上面的那个堆排序问题,而相应的算法代码和插入删除亦类似没给出.写这篇文章主要是纪念自己这几个月考研的日子,同时无论考研结果如何,都要在考完后学习更多自己感兴趣的编程知识,并完成一些自己感兴趣的工程和博客.这才是我想要的东西.最后希望该文章对大家有所帮助,尤其是考研的学子.希望大家考研顺利,同时如果文章中有错误或不足之处,希望大家海涵!

(BY:Eastmount 2013-12-17 下午4点 http://blog.csdn.net/eastmount/)