算法导论 5.1-3

1 题目

假设你希望以各1/2的概率输出0和1。你可以自由使用一个输出0或1的过程BIASED-RANDOM。它以概率p输出1，以概率1-p输出0，其中0<p<1，但是你并不知道p的值。给出一个利用BIASED-RANDOM作为子程序的算法，返回一个无偏向的结果，即以概率1/2返回0，以概率1/2返回1。作为p的函数，你的算法的期望运行时间是多少？

2 分析与解答

画出BIASED-RANDOM真值表

输出值01概率1-pp基于BIASE-RANDOM真值表，画出独立的两次BIASED-RANDOM过程的真值表输出值00011011概率(1-p)(1-p)p(1-p)p(1-p)pp可见输出01和10的概率是相同的，那么可以使用如下算法：依次调用两次BIASED-RANDOM，当输出不同时，返回第一次BIASED-RANDOM的值。下面证明此过程以等概率输出0和1。定义此算法为AVERAGE-RANDOM

1. 事件A：AVERAGE-RANDOM有返回
2. 事件B：AVERAGE-RANDOM返回0
3. 事件C：AVERAGE-RANDOM返回1

根据条件概率公式：P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(两次独立BIASED-RANDOM返回01)/P(两次独立BIASE-RANDOM返回01+两次独立BIASE-RANDOM返回10)=p(1-p)/[p(1-p)+p(1-p)]=1/2；

同理，P(C|A)=P(AC)/P(A)=1/2

2.1 伪代码

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1. AVERAGE-RANDOM()  
2.     a = BIASED-RANDOM()  
3.     if a != BIASED-RANDOM()  
4.         then return a  
5.     return AVERAGE-RANDOM()  

AVERAGE-RANDOM执行次数服从几何分布，且p_goematric =2p(1-p)，所以执行次数的期望为1/2p(1-p)，执行时间的期望T(n)=2p(1-p)*2T_{BIASED-RANDOM} (n)