算法导论 5.1-2

1 题目

描述RANDOM(a,b)过程的一种实现，它只调用RANDOM(0,1)。作为a和b的函数，你的程序的期望运行时间是多少？

2 分析与解答

RANDOM(0,1)以等概率生成0或1，将区间[a,b]中的整数以2进制表示就可以只用0和1来表示区间中的任意数，再设[a,b]中的整数有n位，那么使用RANDOM(0,1)就可以生成n位二进制整数的全集，而区间[a,b]中的整数是n位二进制整数的一个子集，所以RANDOM(0,1)可以生成[a,b]中所有的整数。并且由于每位生成0或1的概率是相同的，且每位生成0或1是相互独立的，所以生成的[a,b]之间的每个整数的概率是相等的，满足RANDOM(a,b)的要求。

综上，RANDOM(a,b)只调用RANDOM(0,1)的一种实现步骤是：

1. 计算b的二进制表示的位数，表示为n
2. 使用RANDOM(0,1)生成n位二进制数
3. 若生成的数在[a,b]则返回，若不再区间则递归调用RANDOM(a,b)

2.1 伪代码

RANDOM(a,b)    n = compute the bits of b    c = 0    for i <- 1 to n        do c = c +  (RANDOM(0,1) << (i-1))    if a <= c and c <= b        then return c    return RANDOM(a,b)

2.2 python实现

import randomdef myrandom(a,b):    n = 1    c = 0    tmp = b    while tmp/2 > 0:        tmp = tmp/2        n += 1    for i in range(0,n):        c += (random.randint(0,1) << i)    if a <= c and c <= b:        return c    return myrandom(a,b)

将b的位数n作为衡量运行时间的变量。那么每次有返回的概率是（b-a)/2ⁿ，这是个贝努力实验，分布符合几何分布，所以期望为2ⁿ/(b-a)，所以期望的运行时间为T(n)=T_random(0,1)(n)*2ⁿ/(b-a)。