矩阵论 第一章 基础概念和定律

数学基础之矩阵篇

理论概念: 思考的时候可能有用

数域: 一个数集对四则运算封闭(四则运算的结果仍在数集内)则称之为数域. Q,R,C都是数域,而Z不是数域因为对除法不封闭.

加群: 一个非空集合V, 若V中有一种规则称之为加法"+", 满足

1. 交换律 a+b=b+a
2. 结合律 a+b+c=a+(b+c)
3. 存在零元 (任意u∈V有u+0=u) 
4. 存在唯一负元 (任意u∈V有唯一-u使 u + (-u) =0).

则称V在加法运算下成一个加群.记为(V,+)

线性空间(或称向量空间): 对于加群 (V,+) 和数域 F,若有F对V的数乘规则,使 任意a∈F, u∈V, 有V中唯一元 au 与之对应,且满足:

1. 数乘对加法的分配律 a(u+v) = au+av
2. 数乘对数的分配率 (a+b)u = au+bu
3. 数乘结合律 abu = a(bu)
4. 数1特性 1u=u

则称V是数域F上的线性空间, V中的元称为向量,F中的元称为标量.

由此可知线性空间V就是一个能构成加群的非空向量集合, 满足和标量的运算关系. 说V是F的一个线性空间,就是说F中标量作用于向量空间V上满足以上关系.

线性变换:V,W是F上的线性空间, 映射T: V→W如果具有以下性质(即保持运算): 任意a,b∈F, x,y∈V, 有T(ax+by) = aTx + bTy,则称T为V到W的一个线性映射. 而当V=W,则称T为V上的一个线性变换.线性变换可以用矩阵来表示, 一组基下,线性变换和矩阵是一一对应的关系. 不同基下,同一个线性变换的矩阵相似.

同构: V,W是F上的线性空间, 若存在映射f:V→W 满足: 1) f一一对应; 2) f是一个线性映射(满足保持运算性质). 则称V和W是同构的.同构空间维数相同.

直和: 如果W1和W2的和空间 W1+W2 中任意向量均唯一地表示成W1中一个和W2中一个向量之和,则W1+W2称为W1与W2的直和. 直和 等价于 W1+W2中零元表示法唯一  等价于 W1∩W2={0} 等价于 dim(W1+W2) = dimW1 + dimW2.

秩, 特征值和特征向量不用解释了.

等价: A经过有限次初等变换得到B则A,B等价.

内积空间:

设V是R上的线性空间,若任意x,y∈V有一种规则使之对应一个实数, 用(x,y)表示,称之为内积,满足:

1. 对称性: (x,y)=(y,x)
2. 可加性: (x+y, z) = (x,z) + (y,z)
3. 齐次性: (kx, y) = k(x,y)  k∈R
4. 非负性: (x,x) ≥ 0

则称V为实内积空间.有限维的内积空间称为欧氏空间.

酉空间:

设V是C上的有限维线性空间, 把内积空间条件的第一条换成: 1.共轭对称性: (x,y) = (y,x)的共轭, 其他不变, 则V称为酉空间.

基本属性和定律:

特征值,特征向量:

• 特征值之和为主对角线元素之和,特征值之积为方阵的行列式. 不同特征值的特征向量互相垂直.
• 特征值和特征向量是否存在,要看其基域.在R上不一定都有,而在C上都有.
• 相似矩阵有相同特征多项式和特征值,反之不然.可以通过变换证明. (相似: 存在可逆P使得 A = P^-1 B P)
• A的特征多项式中次数为n-1的项的系数为 -Σ(1,n)aii = -tr(A) , 即等于A的迹乘以-1. 一般,n-k次项的系数为所有k级主子式之和乘以(-1)^k. 常数项为(-1)^n |A|.
• A的特征多项式为f(λ), 则f(A) = 0矩阵. (A的最小多项式m(A)为使m(A)=0的首一多项式中次数最小的, 所以m(A) | f(A).)
• A可对角化 等价于 每个特征值的代数重数等于该特征值的几何重数 等价于 最小多项式无重根.
• 
  

亏加秩定理:

设V,W是F上的线性空间, 则任意T:V→W, 定义集合 N(T) = {x∈V | Tx = 0} (核空间); R(T) = { y∈W | y=Tx, x∈V} (像空间). 称dimN(T) 为T的零度(或亏), dimR(T)为T的秩.V为有限维,则 dimN(T) + dimR(T) = dimV.

证明: 思路如下: 设V维度为n, N(T)的一组基为 x1, x2 ... xr, 将其补充至V的一组基: x1,x2, .. , xr, xr+1, ... , xn. 那么只要做两件事: 1.证明T(xr+1), T(xr+2).. T(xn)线性无关; 2.任意u∈R(T)可以被 T(xr+1), T(xr+2).. T(xn)表示, 则得证. 证明线性无关的要点:利用N(T)和T的性质,把r+1到n转换成1到n,则他们线性无关. 

Smith标准型: 

λ-矩阵:以λ的多项式为元素的矩阵称为λ-矩阵,记为A(λ). 其他和普通矩阵相同.

任意A(λ)都等价于一个对角λ-矩阵 diag{d1(λ), d2(λ) ... dr(λ) , 0..0}, 对角元素的个数为A的秩, 且任意di(λ) | di+1(λ) . 此对角阵称为A(λ)的Smith标准型.每个A(λ)的Smith标准型唯一.

Smith标准型中的di(λ) (i=1,2,...r) 称为A的不变因子组.初等因子组就是从不变因子组求得的,简单说就是每一个指数大于零的不变因子拆分成不同根的因子,不同的不变因子拆完之后不能合并. 求smith标准型不用化成标准型,只用化成对角线,然后分析其初等因子就可以了.

Jordan标准型:(粗略介绍)

初等因子组得到初等因子组之后,对每一个初等因子的根λ,构建一个Jordan块, 把所有Jordan块当做对角元素则拼成Jordan标准型. 

欧氏空间的定理:设V是欧氏空间

平行四边形公式: || x+y ||^2 + || x-y ||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)  

柯西不等式: |(x,y)| ≤ ||x|| ||y||

其中柯西不等式应用广泛,只要内积定义满足欧氏空间标准,则都满足柯西不等式,如: 一般的内积定义; 又如: | ∫f(x)g(x)dx | ≤ (∫f^2)^1/2 (∫g^2)^1/2 .