01均分

转载自Enockipp

题目详情:

给定一个字符串，长度不超过100，其中只包含字符0和1,并且字符0和1出现的次数都是偶数。你可以把字符串任意切分，把切分后的字符串任意分给两个人，让两个人得到的0的总个数相等，得到的1的总个数也相等。

例如，输入串是010111,我们可以把串切位01, 011,和1， 把第1段和第3段放在一起分给一个人，第二段分给另外一个人，这样每个人都得到了1个0和两个1。我们要做的是让切分的次数尽可能少。

输入是这样一个字符串，输出是最少的切分次数，保证输入合法。

注：题目一定有解，因为我们最差情况时，把字符串切分(n - 1)次形成n个长度为1的串

 

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假设将这个字符串的头与尾部相连接，那么构成一个字符串圆环，在这个圆环中存在这样一个规律：

必定存在这样一条直径，以这条直径将圆环分成两部分，使得这两部分的0的个数相同，且1的个数相同。

 

证明：（过程是以任一条直径开始，顺时针旋转这条直径，直到合适位置）

      因为0和1的个数都是偶数，那么设1的个数为2n，0的个数为2m；

      先以其中任一条直径将圆环分为两部分（如下图），不妨将左边的半圆成为L，右边的半圆称为R：

    

    

那么我们不妨设L中0的个数不足，1的个数超量，L和R中的0，1个数如下：    

                          0个数                      1个数    

      L中                  m-x                          n+x

      R中                 m+x                          n-x

     

    接下来我们旋转这条直径，旋转时无非下面四种情况：

 

其中第1、4种情况不会影响旋转前L和R中的0、1个数，第2、3中情况才会影响L和R中的0、1个数，那么旋转前L和R中的数字对应情况如何？

（对应指分别在一条直径的两端）

假设L中0对应R中1      即上图第3种情况  的次数为b，那么有：

        L中0对应R中0      即上图第1种情况  的次数为m-x-b，

        L中1对应R中1      即上图第4种情况  的次数为n-x-b, 

        L中1对应R中0     即上图第2种情况   的次数为2x+b

       

因为L中缺少x个0，那么 我们只要保证在旋转的过程中出现第2种情况的次数比出现第3种情况的次数多x次，就能使得L中的0、1个数分别与R中的相等，而上面我们已经推导出第二种情况存在2x+b次，第3种情况存在b次，那么在寻转过程中肯定存在“出现第2种情况的次数比出现第3种情况的次数多x次”的情况，得证。

 基于上面的规律，我们得出最多需要两刀就能将字符串均分：其中前半字符串与后半字符串的0、1个数均相等时，只需一刀；其他情况只需2刀。