HDU 1395(欧拉定理)

欧拉φ函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3  欧拉公式
那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互
素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数
φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

求欧拉函数的c语言函数:

int eular(int n) {  int ret=1,i;   for(i=2;i*i<=n;i++)     if(n%i==0)     {      n/=i,ret*=i-1;      while(n%i==0)     n/=i,ret*=i;    }  if(n>1)     ret*=n-1, cout << n << endl;return ret; } 

求欧拉函数的c++程序：

#include <cstdio> #include <cstdlib>   using namespace std;   #define N 10000000   int main(int argc, const char *argv[]) {     int *phi;     char *prime;     prime = (char*)malloc((N + 1) * sizeof(char));     prime[0] = prime[1] = 0;     for(int i = 2; i <= N; i++)         prime[i] = 1;     for(int i = 2; i * i <= N; i++)         if(prime[i])             for(int j = i * i; j <= N; j += i)                 prime[j] = 0;     //这段求出了N内的所有素数     phi = (int*)malloc((N + 1) * sizeof(int));     for(int i = 1; i <= N; i++)         phi[i] = i;     for(int i = 2; i <= N; i++)         if(prime[i])             for(int j = i; j <= N; j += i)                 phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); //此处注意先/i再*（i-1)，否则范围较大时会溢出     return 0; } //这段求出了N内所有数的欧拉函数值 

当a，n互质时，a^φ（n）=1（mod n）.

 

这道题目可以用暴力解决：

#include <cstdio>void main(){    int n, x, round;    while (scanf("%d", &n) != EOF)    {        if (n % 2 == 0 || n == 1)        {            printf("2^? mod %d = 1\n", n);        }        else        {            x = 1, round = 2;            while (round != 1)            {                round = round * 2 % n;                ++x;            }            printf("2^%d mod %d = 1\n", x, n);        }    }}

也可以用欧拉定理：

下面提供两个用欧拉定理解决的程序：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define LL __int64LL t,e[1000];LL mod;LL euler_phi(LL n)//欧拉函数{    LL m=sqrt(n+0.5);    LL ans=n,i;    for(i=2;i<=m;i++)    {        if(n%i==0)        {            ans=ans/i*(i-1);            while(n%i==0)n=n/i;        }    }    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);    return ans;}void find(LL n){    LL i;    e[t++]=n;    for(i=2;i*i<=n;i++)    {        if(n%i==0)        {            if(i*i==n)                e[t++]=i;            else            {                e[t++]=i;                e[t++]=n/i;            }        }    }}LL pows(LL a,LL b){    LL s=1;    while(b)    {        if(b&1)            s=(s*a)%mod;        a=(a*a)%mod;        b=b>>1;    }    return s;}int main(){    LL n;    while(cin>>n)    {        if(n%2==0||n==1)            cout<<"2^? mod "<<n<<" = 1"<<endl;        else        {            LL m,ans,i,s=2;            /*for(i=2;;i++)//直接暴力的方法            {                s=(s*2)%n;                if(s==1)                    break;            }            ans=i;*/            m=euler_phi(n);            t=0;            find(m);            sort(e,e+t);            mod=n;            for(i=0;i<t;i++)            {                if(pows(2,e[i])==1)                {                    ans=e[i];                    break;                }            }            cout<<"2^"<<ans<<" mod "<<n<<" = 1"<<endl;        }    }    return 0;}/*    这题数据很水，可以直接暴力出来。    我要讲的使用定理求解这道题：    本题很容易发现n为偶数或者0时无解。所以2和n必定互质    欧拉定理:a^(euler_phi(n))≡1(mod n),(a,n互质)    其中euler_phi为欧拉函数，计算不超过n且与n互质的个数。求法是n*∏(pi-1)/pi,pi为n的质因子        m=euler_phi(n);    所以a^m%mod=1,不过m不一定是最小循环，但m是一个循环，则最小循环不定时m的一个因子，因而找出所有m的因子，暴力    搜索下就OK了*/

 

/*做法要利用这样几个定理：第一个是a^phi(m)%m=1这个等式在m和a互质的时候一定成立在这个题目中，因为a=2所以m与a不互质，除非m为偶数当然m=1的时候需要特殊处理下，这些都是小问题。现在这个问题明了了，即在m为奇数(大于1)的时候一定有解。那么就有人萌生了直接暴力的方法。当然对于这个题，直接暴力是可以的，我最先开始也是这样过的但是今天重新做了一下这个题我仔细的思考了一下，发现果然有更加巧妙的方法来解决该类问题。首先说暴力的缺点吧，大多数情况暴力其实还是非常快的，但是如果当m为一个非常大的质数，那么问题就严重了。因为质数的欧拉函数就是质数-1那么也就是说，最坏情况下，我们可能要枚举很多次才能找到一个解那么更为高效的方法是：把m的欧拉函数值，假设值为phi进行质因数分解然后依次枚举phi的每一个因子，同时判断这个因子x是否满足2^x%m==1，不断更新一个最小值，最后得到答案。那么为什么这样做就是对的呢？首先需要知道：a^x%m==1满足这个方程的最小x称为a对模m的指数。我们记做ordm(a)，如果ordm(a)==phi(m)则我们称a为模m的原根有：a^X%m==1    <-===->    ordm(a)整除X根据以上所说：a^phi(m)=1成立，那么phi(m)%ordm(a)==0也是成立的所以ordm(a)就是phi的一个因子所以分解phi然后枚举phi的因子的做法是正确的（恩，是有科学依据的。。哈哈）*/#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>#include<iostream>#define inf 99999999#define maxn 1000000using namespace std;typedef __int64 ll;bool flag[maxn];ll prime[maxn];void init(){ll i,j,num=0;for(i=2;i<maxn;i++){if(!flag[i]){prime[num++]=i;for(j=i*i;j<maxn;j=j+i)flag[j]=true;}}}ll eular(ll n){ll i,res=1;for(i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){res=res*(i-1);n=n/i;while(n%i==0){res=res*i;n=n/i;}}if(n==1)break;}if(n>1)res=res*(n-1);return res;}ll exmod(ll a,ll b,ll n){ll ret=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%n)if(b&1)ret=ret*a%n;return ret;}ll solve(ll n,ll fac[]){ll i,num=0;for(i=0;prime[i]*prime[i]<=n;i++){if(n%prime[i]==0){n=n/prime[i];fac[num++]=prime[i];while(n%prime[i]==0){n=n/prime[i];fac[num++]=prime[i];}}if(n==1)break;}if(n>1)fac[num++]=n;return num;}void getans(ll n,ll mod){ll fac[100],num,ans=n,i;bool loop=true;while(loop){loop=false;num=solve(n,fac);for(i=0;i<num;i++){if(exmod(2,n/fac[i],mod)==1){loop=true;if(n/fac[i]<ans)ans=n/fac[i];}}n=ans;}printf("2^%I64d mod %I64d = 1\n",ans,mod);}int main(){ll n,phi;init();while(scanf("%I64d",&n)!=EOF){if(n%2==0||n==1){printf("2^? mod %I64d = 1\n",n);continue;}phi=eular(n);getans(phi,n);}return 0;}