Problem 1402 猪的安家（中国余数定理）

Problem Description

Andy和Mary养了很多猪。他们想要给猪安家。但是Andy没有足够的猪圈，很多猪只能够在一个猪圈安家。举个例子，假如有16头猪，Andy建了3个猪圈，为了保证公平，剩下1头猪就没有地方安家了。Mary生气了，骂Andy没有脑子，并让他重新建立猪圈。这回Andy建造了5个猪圈，但是仍然有1头猪没有地方去，然后Andy又建造了7个猪圈，但是还有2头没有地方去。Andy都快疯了。你对这个事情感兴趣起来，你想通过Andy建造猪圈的过程，知道Andy家至少养了多少头猪。

Input

输入包含多组测试数据。每组数据第一行包含一个整数n (n <= 10) – Andy建立猪圈的次数，解下来n行，每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000), 表示Andy建立了ai个猪圈，有bi头猪没有去处。你可以假定(ai, aj) = 1.

Output

输出包含一个正整数，即为Andy家至少养猪的数目。

Sample Input

3
3 1
5 1
7 2

Sample Output

16
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很裸的中国余数定理的应用：

设m1,m2,…mk是两两互素的正数，则对任意的整数b1,b2,…bk,同余方程组

X ≡ b1 (mod m1)  意思是X和b1对m1取余的结果相同

X ≡ b2 (mod m2)

…

X ≡ bk (mod mk)

n其解为

nX = ((y1*M1*b1)+(y2*M2*b2)+…+(yk*Mk*bk)  )mod m;

n其中

m = m1*m2*…*mk;

Mi = m / mi;

(yi *Mi) mod mi = 1

n如何求yi

因为 Mi 和mi 互质，gcd(Mi, mi)=1

必然存在 yi*Mi + xi*mi = 1(扩展Euclid)

#include <cstdio>#include <set>#include <string>#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>#define LL __int64using namespace std;LL y[20],mi[20],b[20],m,M[20],n;LL ex_eulicd(LL aa,LL bb,LL &x,LL &y){LL temp,d;if(bb==0){x=1;y=0;return aa;}d=ex_eulicd(bb,aa%bb,x,y);temp=x;x=y;y=temp-aa/bb*y;return d;}int main(){LL i,res;    ///freopen("D://p.txt","r",stdin);//freopen("D:\\oo.txt","w",stdout);while(scanf("%I64d",&n)!=EOF){res=0;m=1;for(i=0;i<n;i++){scanf("%I64d%I64d",&mi[i],&b[i]);m*=mi[i];}for(i=0;i<n;i++)M[i]=m/mi[i];for(i=0;i<n;i++){LL xx,yy;LL d=ex_eulicd(M[i],mi[i],xx,yy);if(xx<=0)xx+=mi[i];//注意出现负数的情况y[i]=xx;}for(i=0;i<n;i++)res+=(y[i]*b[i]*M[i]);printf("%I64d\n",res%m);}    return 0;}