快速幂取模

来源：互联网发布：mac pro评测视频编辑：程序博客网时间：2024/06/07 18:19

原文：http://blog.sina.com.cn/s/blog_8619a25801010wcy.html

计算x^ymod n;如果采用常规方法，当x与y都比较小的情况下，采用直接计算可以，但是如果当x跟y都非常大的时候，如2^1000mod 100000，那该如何解决呢？

      利用模运算的这个：（a*b）mod n = (（a mod n） * b ) mod n;
      例如：2^11 mod 100 = 2^(1011) mod 100= （(2 ^(1010)mod 100)＊２）mod 100……
       1011为11的二进制表示

于是就有如下的实现过程了：

#define LL long long intLL exp_mod( LL x , LL y , LL n ){     LL ret=1;     while(y){             if(y&1) ret=(ret*x)%n;             x=(x*x)%n;             y=y>>1;     }     return ret;}

程序执行次数至于y的位长度有关。

实战例子：求root(N, k)

2010年清华的上机题目，题意请点击题目处链接。

本题可以有如下分析：

N=a0+a1*k+a2*k^2+……+an*k^n;

N'=a0+a1+a2+……+an;

N-N'=a1*(k-1)+a2*(k^2-1)+……+an*(k^n-1);

提取(k-1)有: (N-N')%(K-1)=0;

继续递推下去有：（N-N'）%(k-1) =0；

（N'-N''）%(k-1)=0;

……

（N(r-1)-N(r)）%（k-1）=0；

相加有：（N-N(r)）%(k-1)=0,N(r)是我们要求的结果，故有

N(r) = N % (k-1);

如果 N(r)==0 ,为边界，则 N(r) = k-1;

至于如何取模运算参考上面刚学习的快速幂取模即可。

实现代码如下：

#include <stdio.h>#define LL long long intLL exp_mod(LL x,LL y,LL n){    LL ret=1;    while(y){        if(y&1) ret=(ret*x)%n;        x=(x*x)%n;        y=y>>1;       }       return ret;} int main(){    LL a,b,k,ans;         while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k)==3){        ans=exp_mod(a,b,k-1);        if(ans==0) ans=k-1;        printf("%lld\n",ans);      }    return 0;}

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