十进制快速幂

来源：互联网发布：淘宝新店提取软件编辑：程序博客网时间：2024/06/06 10:49

题目：https://www.smartoj.com/p/2297

题意：矩阵F[][]满足以下递推式

输入八个整数n,m,a,b,c,d,e,f，输出F[n][m]%2012182013的值。

分析：本题需要构造矩阵，那么首先我们根据递推式

可以构造

可以看出，我们还需要求F[n][2]和F[n][1]的值。那么继续，根据

我们先利用上面的式子消去下面式子中的F[i][1]得到

所以有矩阵

那么，与开始的矩阵连起来就得到

可以看出，这样就构成了关于n的矩阵递推关系。那么进一步得到

那么，我们再根据前面的关于m的矩阵递推下去得到

这样，我们就可以计算了，但是这里有一个问题，就是幂m和n会很大，那么对于矩阵，实际上是不能用费马小定理降幂的，那么我们有一种方法，叫做十进制快速幂。它的原理基本和二进制快速幂差不多，模拟一下就知道了，很容易的。

在SmartOJ上貌似评测机速度慢，得到的结果是TLE，连别人AC过的代码都T，也就只能这样了，关键是掌握方法即可。

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>#include <string>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 3;const LL MOD = 2012182013;string NN,MM,AA,BB,CC,DD,EE,FF;struct Matrix{    LL m[N][N];};Matrix I ={    1,0,0,    0,1,0,    0,0,1};Matrix multi(Matrix a,Matrix b){    Matrix c;    for(int i=0; i<N; i++)    {        for(int j=0; j<N; j++)        {            c.m[i][j] = 0;            for(int k=0; k<N; k++)            {                c.m[i][j] += ((a.m[i][k] % MOD) * (b.m[k][j] % MOD)) % MOD;                c.m[i][j] %= MOD;            }        }    }    return c;}Matrix power(Matrix A,LL k){    Matrix ans = I, p = A;    while(k)    {        if(k&1)        {            ans = multi(ans,p);            k--;        }        k >>= 1;        p = multi(p,p);    }    return ans;}Matrix T_power(Matrix A,string str) //十进制快速幂{    int len = str.length();    Matrix ans = I, p = A;    while(len != 0)    {        int k = str[len-1] - '0';        ans = multi(ans,power(p,k));        p = power(p,10);        len--;    }    return ans;}LL Module(string str,LL MOD){    int len = str.length();    LL ans = 0;    for(int i=0; i<len; i++)    {        ans = ans * 10 + str[i] - '0';        ans %= MOD;    }    return ans;}void Sub(string &str,int x){    int len = str.length();    for(int i=len-1; i>=0; i--)    {        if(str[i] - '0' < x)        {            str[i] += 10 - x;            x = 1;        }        else        {            str[i] -= x;            x = 0;        }    }    if(str[0] == '0' && str.length() > 1)        str.erase(0,1);}int main(){    while(cin>>NN>>MM>>AA>>BB>>CC>>DD>>EE>>FF)    {        LL a = Module(AA,MOD);        LL b = Module(BB,MOD);        LL c = Module(CC,MOD);        LL d = Module(DD,MOD);        LL e = Module(EE,MOD);        LL f = Module(FF,MOD);        Matrix A;        A.m[0][0] = b;        A.m[0][1] = a;        A.m[0][2] = c;        A.m[1][0] = 1;        A.m[1][1] = 0;        A.m[1][2] = 0;        A.m[2][0] = 0;        A.m[2][1] = 0;        A.m[2][2] = 1;        Sub(MM,2);        Matrix ans1 = T_power(A,MM);        Matrix B;        B.m[0][0] = (d + e * e % MOD) % MOD;        B.m[0][1] = d * e % MOD;        B.m[0][2] = (f + e * f % MOD) % MOD;        B.m[1][0] = e;        B.m[1][1] = d;        B.m[1][2] = f;        B.m[2][0] = 0;        B.m[2][1] = 0;        B.m[2][2] = 1;        Sub(NN,1);        Matrix ans2 = B;        Matrix ans = multi(ans1,ans2);        ans = T_power(ans,NN);        ans = multi(ans,ans1);        LL res = (ans.m[0][0] + ans.m[0][1]) % MOD;        res = (res + ans.m[0][2]) % MOD;        cout<<res<<endl;    }    return 0;}

题目：http://218.28.19.228/cogs/problem/problem.php?pid=1397

题意：矩阵F[][]满足以下条件

求F[n][m]%1000000007的值。

分析：当然这个题做法实际上跟上面的题做法一样，用十进制快速幂就能AC，但是你会发现用费马小定理降幂同样对，在这里由于数据的特殊性恰好避开了使用费马小定理出错的情况，十进制快速幂才是正解。由于基本与上题一样，就不贴代码了。

0 0