hdu 1249 三角形 组合数学

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1249
       一道很好的组合数学题，虽然组合数学没学到多少东西，但看懂这道题，还好，很好很强大！

      这道题开始我也不知道做，看了别人代码才知道所以然，开始连图都不会画！

回来回想起《组合数学》 卢开澄版 书上在递推一节中讲到了，有关直线，椭圆的相交分割区域问题。

很好很强大！ 让我进一步加深了对这道题及这一类题的理解。故引用一下我的理解：

   一、N条直线将平面分割成多少个区域？   先让我们简单的理解一下：

     当n=1的时候，s(1)=2;      当n=2的时候，s(2)=4;     当n=3的时候，s(3)=7;  当n=4的时候，s(4)=11;

     

 

 

问题分析的基本思路是：当n=2的时候，新增的那条直线与原来的直线有了一个交点，新直线被这个交点分成了两段，

每一段就与一个区域对应了。（这样的解释比较不严谨，但我想大家还是能懂的意思的）。同样，当n=3 的时候，

新增的那条直线又与原来的2条直线相交，与原来的每条直线产生了一个交点，共两个。此时，

这两个交点又将新的直线分成了三段，每一段对应了一个区域，因此就在S（2）的基础上又增加了三个区域；

同理n=4;        数学的简单过程   n=1;S（1）=2；    n=2;  S(2)=S(1)+2 ;  n=3;  S(3)=S(2)+3;  n=4; S(4)=S(3)+4;

注意的是：直线与平面分割成的区域，只是有界线的，但不是完全封闭的那种，这与椭圆，三角形的情况不一样，

但可以作为一种思想。
   递推式是：        公式：

 

二、N个椭圆将平面分割成多少个区域？    先从简单的入手：

   当n=1时；S(1)=2;   当n=2;  S(2)=4;   当n=3时，S(3)=8; 当n=4时，S(4)=14;

 

 

  

问题分析的基本思路：当n=2时，新增的椭圆与原有的椭圆产生了两个交点，这两个交点也伴随着两个椭圆的各自一段劣弧，这两个劣弧将各自的椭圆，分成了两个封闭的区域（这里跟直线的情况不同）。（椭圆相交一般有两个交点）两个交点对应了两段弧，两段弧对应了两个新增的区域。故S(2)=S(1)+2*1;

当n=3时，新增的椭圆与原有的两个椭圆产生了四个交点，即又有四段弧，也四个新增的区域；S(3)=S(2)+2*2 ;同理n=4;

 

 

递推式是：     公式：

 

通过上面的两个题目，可以知道:我们在处理这类题上的时候，我们是抓住了新增的图形与原有的图形 增加的交点数，对应了相应的 弧的数目，从而知道增加区域的情况；

三、N个三角形将平面分割成多少区域？先成简单的情况入手：

  当n=1时，S(1) = 2;  当n=2时，S(2) = 8;  当n=3时，S(3)=20;  当n=4时，S(3)=20;当n=4时，S(4)=38:

  

当n=2时，新增的三角形与原有的三角形有了六个交点，即每条边两个交点，也就产生了六个新增的区域：同理n=3,4..；

由于作图比较难，所以就不画出来了。大家可以自己动手做。

 

递推式：公式：

 

这类总结一下：对于这类题目，我们先从简单的入手，抓住新增的图形与原有的图形产生的点的个数，从而找到与新增的区域的个数的关系！           

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