编程之美1.6 饮料供货

问题描述：

     在微软亚洲研究院上班，大家早上来的第一件事是干啥呢？查看邮件？ No， 是去水房拿饮料：酸奶，豆浆，绿茶、王老吉、咖啡、可口可乐……（当然，还是有很多同事把拿饮料当做第二件事）。管理水房的阿姨们每天都会准备很多的饮料给大家，为了提高服务质量，她们会统计大家对每种饮料的满意度。一段时间后，阿姨们已经有了大批的数据。某天早上，当实习生小飞第一个冲进水房并一次拿了五瓶酸奶、四瓶王老吉、三瓶鲜橙多时，阿姨们逮住了他，要他帮忙。

     从阿姨们统计的数据中，小飞可以知道大家对每一种饮料的满意度。阿姨们还告诉小飞， STC（ Smart   Tea   Corp.） 负责给研究院供应饮料，每天总量为 V。 STC 很神奇，他们提供的每种饮料之单个容量都是 2 的方幂，比如王老吉，都是 23 ＝ 8 升的，可乐都是 25 ＝ 32 升的。当然 STC 的存货也是有限的，这会是每种饮料购买量的上限。统计数据中用饮料名字、容量、数量、满意度描述每一种饮料。那么，小飞如何完成这个任务，求出保证最大满意度的购买量呢？

问题分析：

     现有的条件包括

1. 总量V

2. 每种饮料的单个容量

3. 每种饮料的存货

     这个问题适合使用动态规划来寻找最优解。首先方便讨论我们按照书中的命名设好一些变量：

     “假设STC共提供n种饮料，用（Si、Vi、Ci、Hi、Bi）（对应的是饮料名字、容量、可能的最大数量、满意度、实际购买量）来表示第i种饮料（i = 0, 1,…, n-1），其中可能的最大数量指如果仅买某种饮料的最大可能数量，比如对于第i中饮料Ci=V/Vi。”

     动态规划的步骤包括：1.分析最优解结构特点；2.递归定义最优解；3.自底向上计算子问题直至得到最优解的代价；4.找到最优解。那么我们接下来就按照这个步骤顺序依次来进行分析。

     首先是最优解结构。最优解设为是B1,B2,B3...Bn，那么B1到Bn-1是这样的一个子问题的最优解：总量V-Bn*Vn，在前n-1种饮料中选出满意度最大的方案。这个很好证明，因为假如这不是子问题的优化解，那么原问题就可以得到一个更好的解，矛盾。接下来需要分析的就是这个子问题的解和它的父问题（可以这么叫吗）的最优解之间的关系，列出递推方程。假如当前购买的饮料后剩余的量为k，那么需要比较k和Vn之间的关系。假如不能整除，那么显然这样的方案是不成立的，需要舍弃，可以给这个方案的满意度设为无穷小，假如可以整除，那么就需要开始进行判断。

     具体而言，我们可以设一个代价函数c[i,j]表示当前状态的满意度，其中i表示从前i种饮料中选择，j表示当前剩余的饮料量。当i=n，j=v的时候，我们就得到了原问题的最优满意度。如何从c[i,j]的下一级子问题得到它的值呢，这个需要进行比较，设第i种饮料的购买量为m，然后考察对于每一种m的可能情况下得到的值，选出最大的填入c[i,j]。当填完整个表后就得到了整体的最优解。