编程之美 - 饮料供货

来源：互联网发布：淘宝外包费用编辑：程序博客网时间：2024/04/29 10:24

问题描述

公司采购饮料，采购的饮料有一个总量的限制 V0升，同时每种饮料有最大瓶数的限制C(i)，大家对每种饮料有一个满意度 H(i)，问怎样采购能使总的满意度最高。注: 饮料的包装规格都是2的n次方的整数。

想法 I : 动态规划

假设：

饮料的种类为 n

每种饮料的购买量为 B(i) (i = 0.. n)

每种饮料最大瓶数的限制 C(i) (i = 0.. n)

每种饮料的满意度为 H(i) (i = 0.. n)

每种饮料的包装规格 V(i) (i = 0.. n)

总的容量为 V0

满意度为 Happy

V0 = B(0) * V(0) + B(1) * V(1) + .... + B(n) * V(n)

Happy = B(0) * H(0) + B(1) * H(1) + .... + B(n) * H(n)

求的是 Max(Happy)。

一个最优的结果 Opt(V0，n)，是由中间若干个步骤的最优结果 Opt(V`，i) 推算出来的

Opt(V`，i) = MAX{ B(i)*H(i) + Opt(V`- B(i)*V(i), i-1) }

当前步骤的最优结果 = 上一步的最优结果 + 当前步骤的结果。

对每一步都进行最优结果的推算，最后得到的一定是最优的方案。

举例：有3种饮料，总的容量为 8

每一种的瓶数限制 arrC[] = {5, 4, 6};

每一种的满意度 arrH[] = {3, 5, 2};

每种的容量 arrV[] = {2, 4, 8}

代码示例：

#include <iostream>#include <iomanip> using namespace std;#define V0 8#define T  3#define INF 255int arrC[] = {5, 4, 6};int arrH[] = {3, 5, 2};int arrV[] = {2, 4, 8};void printOpt(int arr[V0+1][T+1], int nLeni, int nLenj){    int i =0, j = 0;    cout << "=================================" << endl;    for (i = 0; i < nLeni; i++)    {        for (j = 0; j < nLenj; j++)        {            cout.fill(' ');              cout.setf(ios::right);              cout.width(6);              cout << setprecision(6) << arr[i][j] << "  ";        }        cout << endl;    }    cout << endl;    cout << endl;}int Calc(int V){    int i=0, j=0, k=0;    int opt[V0+1][T+1];    memset(opt, 0, sizeof(int) * (V0+1)*(T+1));    opt[0][T] = 0;    for (i = 1; i <= V0; i++)    {        opt[i][T] = -INF;    }    printOpt(opt, V0+1, T+1);    for (j = T-1; j >=0; j--)    {        for (i = 0; i <= V0; i++)        {            opt[i][j] = -INF;            for (k = 0; k < arrC[j]; k++)            {                if (i < k * arrV[j])                    break;                int h = opt[i - k * arrV[j]][j+1];                if (h != -INF)                {                    h += arrH[j] * k;                    if (h > opt[i][j])                    {                        opt[i][j] = h;                        printOpt(opt, V0+1, T+1);                    }                }            }        }    }    printOpt(opt, V0+1, T+1);    return opt[V0][0];}void main(){    int nHappy = 0;    nHappy = Calc(V0);    cout << nHappy << endl;    cin >> nHappy;}

运算结果：

================================= 初始化状态

0 0 0 0

0 0 0 -255

=================================

0 0 0 0

0 0 0 -255

================================= 买第3种饮料，买8升得到的 Happy

0 0 0 0 opt(8, 2) = 2

0 0 -255 -255

0 0 2 -255

=================================

0 0 0 0

0 0 -255 -255

0 0 2 -255

================================= 买第2种饮料，买4升得到的 Happy = 5

0 0 0 0 opt(4, 1) = 5

0 -255 -255 -255

0 5 -255 -255

0 0 -255 -255

0 0 2 -255

================================= 买第2种饮料，买8升时要先和之前的第三种饮料的 8升做个比较

0 0 0 0 此时第三种的饮料8升的 Happy 为 2

0 -255 -255 -255

0 5 -255 -255

0 -255 -255 -255

0 2 2 -255

================================= 买第2种饮料，买8升时要先和之前的第三种饮料的 8升做个比较

0 0 0 0 买第二种的饮料8升的 Happy 为 10， 10作为最优解被保留

0 -255 -255 -255

0 5 -255 -255

0 -255 -255 -255

0 10 2 -255 opt(8, 2) = 2 vs opt(8, 1) = 10

=================================

0 0 0 0

0 -255 -255 -255

0 5 -255 -255

0 -255 -255 -255

0 10 2 -255

================================= 买第1种饮料，买2升得到的 Happy = 3

0 0 0 0

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255 opt(2, 0) = 3

0 -255 -255 -255

0 5 -255 -255

0 -255 -255 -255

0 10 2 -255

================================= 买第1种饮料，买4升，要和买第2种饮料买4升的happy进行比较

0 0 0 0

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

5 5 -255 -255 opt(4, 1) = 5

0 -255 -255 -255

0 10 2 -255

================================= opt(4, 0) = 6 第1种 4升的方案被保留

0 0 0 0

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

6 5 -255 -255 opt(4, 1) vs opt(4, 0) 6 > 5 6 被保留

0 -255 -255 -255

0 10 2 -255

================================= 取6升时，可以取2升第1种饮料和取4升第2种，他们的

0 0 0 0 Happy 和 = 3 + 5 = 8

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

6 5 -255 -255

-255 -255 -255 -255

8 -255 -255 -255

0 -255 -255 -255

0 10 2 -255

================================= 取6升时，也可以取6升第1种饮料 Happy = 3 * 3 = 9

0 0 0 0

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

6 5 -255 -255

-255 -255 -255 -255

9 -255 -255 -255

0 -255 -255 -255

0 10 2 -255

=================================

0 0 0 0

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

6 5 -255 -255

-255 -255 -255 -255 win

9 -255 -255 -255 opt(6, 0) vs opt(2, 0) + opt(4, 1)

-255 -255 -255 -255

10 10 2 -255

================================= 取6升时，可以取4升第1种饮料和取4升第2种，他们的

0 0 0 0 Happy 和 = 6 + 5 = 11

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

6 5 -255 -255

-255 -255 -255 -255

9 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

11 10 2 -255

================================= 取6升时，也可以取8升第1种饮料 Happy = 3 * 4 = 12

0 0 0 0

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

6 5 -255 -255

-255 -255 -255 -255

9 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

12 10 2 -255

=================================

0 0 0 0

-255 -255 -255 -255

3 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255

6 5 -255 -255

-255 -255 -255 -255

9 -255 -255 -255

-255 -255 -255 -255 win

12 10 2 -255 opt(8, 0) vs opt(4, 0) + opt(4, 1)

空间复杂度：使用了一个二维数组 V * T --> 总的升数 * 总的饮料种类

时间复杂度：使用了3 个for 循环嵌套 V * T * Max(Ci) --> 总的升数 * 总的饮料种类 * 找到当前种类饮料最大解的时间

想法 II ：动态规划方式的一种变形，通过增加一个状态标记，判断当前升数-种类的饮料是否被计算过来提高效率。

用 -1 标记当前升数，当前种类的饮料-当前升数，还没有被计算过。用-INF表示当前升数-当前种类的饮料是无效的。

程序示例：

#include <iostream>#include <iomanip> using namespace std;#define V0 8#define T  3#define INF 255//int arrC[] = {5, 4, 6};//int arrH[] = {3, 5, 2};//int arrV[] = {2, 4, 8};int arrC[] = {5, 4, 6};int arrH[] = {1, 5, 2};int arrV[] = {2, 4, 8};void printOpt(int arr[V0+1][T+1], int nLeni, int nLenj){    int i =0, j = 0;    cout << "=================================" << endl;    for (i = 0; i < nLeni; i++)    {        for (j = 0; j < nLenj; j++)        {            cout.fill(' ');              cout.setf(ios::right);              cout.width(6);              cout << setprecision(6) << arr[i][j] << "  ";        }        cout << endl;    }    cout << endl;    cout << endl;}int opt[V0+1][T+1];int calc(int V, int type){    int nRet = -INF;    int i = 0;    if (type == T)    {        if (V == 0)            return 0;        else            return -INF;    }    if (V < 0)        return -INF;    else if (V == 0)        return 0;    else if (opt[V][type] != -1)        return opt[V][type];    for (i = 0; i < arrC[type]; i++)    {        if (V - i * arrV[type] < 0)            continue;        int nTmp = calc(V - i * arrV[type], type+1);        if (nTmp != -INF)        {            nTmp += arrH[type] * i;            if (nTmp > nRet)            {                nRet = nTmp;            }        }    }    opt[V][type] = nRet;    printOpt(opt, V0+1, T+1);    return nRet;}void main(){    int i = 0;    memset(opt, -1, 4*(V0+1)*(T+1));    i = calc(V0, 0);    cout << i;    cin >> i;}

测试结果：

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -1 2 -1

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -1 2 -1

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 10 2 -1

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 10 2 -1

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 10 2 -1

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -255 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 10 2 -1

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 5 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -255 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 10 2 -1

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -255 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 5 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -255 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 10 2 -1

=================================

-1 -1 -1 -1

-1 -255 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 5 -255 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -255 -255 -1

-1 -1 -1 -1

10 10 2 -1

0 0