扩展欧几里得算法

数论题：线性方程

看了《数论概论》的相关章节-《线性方程与最大公因数》

首先是要证明一个方程必定有整数解

ax+by=gcd(a,b);  为方便 g=gcd(a,b),ax+by=g

这个证明有些复杂就不写了，而如何构造一个可行解（x1，y1）其实也在证明过程中

在得到一个可行解后就可以得到无数组解，他们是（x1-k*(b/g) , y1+k*(a/g)） ，（其中g=gcd（a，b），k是整数）

而对于方程ax+by=c，只要c是g倍数那么就有整数解，否则没有

看完原题，p是x/k的下整，q是x/k的上整，然后p*m+q*n=x，这个方程其实就是ax+by=c的形式，而且这个方程一定有整数解

因为d=gcd(p,q)，若p=q，d=p，若p！=q即|p-q|=1，则d=1

所以无论如何x一定是d的倍数，这个方程一定有整数解

然后先用floor和ceil处理出p，q，然后直接套模板去求解就可以了

#include

#include

using namespace std;

void gcd(long long a,long long b,long long& d,longlong& x,long long& y)

{

    if(!b) { d=a; x=1; y=0;}

    else  { gcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b); }

}

int main()

{

    int T;

    cin>>T;

    while(T--)

    {

       long long a,b,d,x,y;

       double c,k;

       cin>>c>>k;

       a=floor(c/k);  //取下整

       b=ceil(c/k);  //取上整

       gcd(a,b,d,x,y);

       d=c/d;

       cout<<x * d<<" "<<y *d<<endl;

    }

    return 0;

}

注意这个是求ax+by=gcd(a,b)的一个解(x0,y0)的。在这里a对应x，b对应y。而a和b的大小没有限制

调用时写 gcd(a,b,d,x,y) 或者 gcd(b,a,d,y,x) 都是正确的

但是      gcd(a,b,d,y,x) 或者 gcd(b,a,d,x,y) 是错误的

因为     y-=x*(a/b)是和  这个式子 ax+by=gcd(a,b)  相对应的

转自：http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2013/02/01/2889556.html原代码错误，有改动