整数拆分的两种解法

来源：互联网发布：mac系统五笔输入法编辑：程序博客网时间：2024/05/14 01:01

前几天在算法书上看到一个整数拆分的题目，觉得挺有意思，记录如下：

题目一：给定一个整数n，输出这个整数拆分的可能总数

例如：n==6有

5+1

4+2 4+1+1

3+3 3+2+1 3+1+1+1

2+2+2 2+2+1+1 2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

共11种分解方法，所以输出应该为11。

分析一

拆分按照因子从大到小排列，每一次拆分都可视为问题规模的减少，所以可以使用递归解决。

设q(n,m)为整数n使用不大于m的整数进行拆分的所有情况总数，因此有

1）当n==m时

可以分为两种情况，一个是使用n本身，只有一种情况。二个是使用不大于n-1的整数进行拆分。

所以此时q(n,m)=1+q(n,n-1)；

2）当n<m时

使用比n大的数进行拆分没有意义，所以此时q(n,m)=q(n,n)

3）当n>m时

这时候有两种情况，一个是使用m对n进行拆分，一个是使用小于m的数对n进行拆分

对于第一个，使用m对n进行拆分，所以拆分出来的情况最大的数是m，剩下的所有数加起来为n-m，问题变成使用不大于m的整数对n-m进行拆分，所以此时为q(n-m,m)

对于第二个，使用小于m的数对n进行拆分，表示为q(n,m-1)

4）当n==1或者m==1时只有一种情况，返回1。注意，这里可能会漏掉m==1的情况，实际上这种情况是存在的。

所以可以使用递归函数编程如下：

[cpp] view plaincopy
#include <stdio.h>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
  
int q(int n,int m){  
    if(n==1||m==1){  
        return 1;  
    }  
    if(n<m)  return q(n,n);  
    if(n==m){  
        return q(n,m-1)+1;  
    }  
    if(n>m)  
        return q(n,m-1)+q(n-m,m);  
}  
  
void main(){  
    int n;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
        printf("%d\n",q(n,n));  
    }  
}  

分析二

使用母函数法

整数分解用母函数可以这样理解，分别用任意个1，2，3，4，……，n可以加起来可以表示成n的种数。又因为当使用整数m对n进行分解时，所使用的次数不能多于n/m次，所以可以写下母函数如下：

G(x)＝(1+x^1+x^2+……+x^n)*(1+x^2+x^4+……+x^((n/2)*2))*……

＊(1+x^m+x^(2*m)+x^(3*m)+……+x^((n/m)*m))*……*(1+x^n)

在程序中使用set数组表示每一轮乘法后得到系数，c数组表示到现在为止乘法得到的系数总和。最后算出结果后x^n对应的系数则为可分解的可能数。代码如下：

[cpp] view plaincopy
#include<stdio.h>  
const int num=1000;  
int set[num];  
int c[num];  
void init(){  
    for(int i=0; i<num; i++){  
        c[i]=1;  
        set[i]=0;  
    }  
}  
  
int main(){  
    int n;  
    int sum;  
    init();  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
        sum=0;  
        init();  
        for(int i=2; i<=n; i++){  
            for(int j=0; j<=n; j+=i){  
                for(int k=0; j+k<=n; k++){  
                        set[k+j]+=c[k];   
                }  
            }  
            for(int x=0; x<=n; x++){  
                c[x]=set[x];  
                set[x]=0;  
            }  
        }  
        printf("%d\n",c[n]);  
    }  
    return 0;  
}  

题目二：给定一个整数n，输出这个整数拆分的可能形式（即输出全部情况）

使用递归情况（输出实在麻烦。。弄了很久(>﹏<)）

整个输出类似于一颗树，以分解6为例，过程如下图

代码如下：

[cpp] view plaincopy
#include <stdio.h>  
  
//使用一个数组记录在递归过程中产生的前面需要重复输出的值  
int set[100];  
//用于在递归过程中判断是否递归到最深处，输出回车  
int k;  
  
//此函数表示使用不大于m的整数对n进行拆分的情况，i用于表示set数组已经存在的记录数长度  
void q(int n,int m,int i){  
    if(n==k&&n!=m){   
        //此时递归栈已经退回到某一分支的最上层，输出回车  
        //并重置计数器i为0  
        printf("\n");  
        i=0;  
    }  
    if(n==1){  
        //当n为1，意味者着只能表示1  
        printf("1 ");  
        return;  
    }  
    else if(m==1){  
        //当m为1，意味着要输出n个m相加  
        for(int i=0; i<n-1; i++)  
            printf("1+");  
        printf("1 ");  
        return;  
    }  
    if(n<m) {  
        q(n,n,i);  
    }  
    if(n==m){  
        //当n等于m时，到达本次递归求和的一个叶子，此时需要输出多一个空格，表示下一次输出为另一个叶子  
        printf("%d ",n);  
        //在递归输出另一个叶子之前，将之前记录的在叶子之上的数一并输出，如上图示过程1  
        for(int j=0; j<i; j++)  
            printf("%d+",set[j]);  
        q(n,m-1,i);  
          
    }  
    if(n>m){  
        //如果n大于m，使用m作为分解，则要首先输出m+的形式  
        printf("%d+",m);  
        //记录下作为树干节点m的值并使i自增  
        set[i++]=m;  
        //递归输出m+以后的分解  
        q(n-m,m,i);  
        //递归完毕后需要将数组记录后退一个，回到上一个节点，如上图示过程2  
        i--;  
        //执行另一个分支，在下一次递归之前输出记录的数据，如上图示过程3  
        for(int j=0; j<i; j++)  
            printf("%d+",set[j]);  
        //递归输出另一分支情况  
        q(n,m-1,i);  
    }  
      
      
}  
  
void main(){  
    int n;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
        if(n<=0){  
            printf("Please input a positive interger.\n\n");  
            continue;  
        }  
        k=n;  

0 0