斐波那契(Fibonacci)数列

以下取自《编程之美-微软技术面试心得》

斐波那契数列由如下递推关系式定义：

F(0)=0 F(1)=1

F(n)=F(n-1)+F(n-2) if n>1

求解斐波那契数列的方法有以下几种：

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1.根据递推公式可以很容易想到用递归的方法求解第n+1项的值，代码如下：

int Fibonacci(int n){
    if(n<=0)return 0;
    else 
        if(n==1)return 1;
    else
        return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}

这种方法在计算F[n]时，需要计算从F[2]到F[n-1]每一项的值，这样简单的递归式存在着很多的重复计算，如求F[5]=F[4]+F[3]，在求F[4]的时候也需要求一次F[3]的大小，等等。

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2.为了减少上述的重复运算，可以用一个数组存储所有已经计算过的项。这样便可以达到用空间换时间的目的。在这种情况下，时间复杂度为O(N)，而空间复杂度也为O(N)。

int Fibonacci3(int n)
{


   int *res = new int[n+1];
   res[0]=0;
   res[1]=1;
   int i=0,result=0;
   if(n<=0)
  return 0;
   if(n==1)
  return 1;
   for(i=2;i<=n;i++)
   {
res[i]=res[i-1]+res[i-2];
   }
   result=res[n];
   delete[] res;
   return result;
}

该方法是根据编程之美书中题意实现的，申请了数组，空间复杂度为o(n);

但其实有空间复杂度更小的解法，只保存之前两项的值为x和y，计算待求的z后更新x和y，这样空间复杂度就减少了。代码如下：

int Fibonacci2(int n)
{
   int i=0,x=0,y=1,z=0;
   if(n<=0)
  return 0;
   if(n==1)
  return 1;
   for(i=2;i<=n;i++)
   {
  z=x+y;
  x=y;
  y=z;
   }
   return z;
}

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3.如果我们知道一个数列的通项公式，利用公式来计算会更加容易。能不能把这个函数的递推公式计算出来呢？

由递推公式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，知道F(n)的特性方程为：x^2=x+1(见补充)

有根：x1=(1+sqrt(5.0))/2，x2=(1-sqrt(5.0))/2

所以存在A，B使得：

F(n)=A*x1^n+B*x2^n

代入F(0)=0，F(1)=1，解得A=1/sqrt(5.0)，B=-1/sqrt(5.0)，即

F(n)=(x1^n-x2^n)/sqrt(5.0)

通过公式，我们可以在O(1)的时间内得到F(n)。但公式引入了无理数，所以不能保证结果的精度。

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4.注意到Fibonacci数列是二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得：

(F[n] F[n-1])=(F[n-1] F[n-2])*A，结合F[n]=F[n-1]+F[n-2]求解，可得：

A=1 1,1 0(上面是1 1，下面为1 0)，由上面的矩阵递推公式有：

(F[n] F[n-1])=(F[n-1] F[n-2])*A=(F[n-2] F[n-3])*A^2=...=(F[1] F[0])*A[n-1]，或

剩下的问题就是求解矩阵A的方幂。A^n=A*A*...*A，最直接的解法就是通过n-1次乘法得到结果。但是当n很大时，比如1 000 000或1 000 000 000，这个算法的效率就不能接受了。当然，在这个情况下，F[n]在int所表示的整数里早就溢出了，但如果要求解的是F[n]对某个素数的余数时，这个算法会是非常有用和高效的。

注意到：

A^(x+y)=A^x*A^y

A^(x*2)=A^(x+x)=(A^x)^2

用二进制方法表示n：

n=ak*2^k+a(k-1)*2^(k-1)+...+a1*2+a0(其中ai=0或1，i=0，1，...，k)

A^n=A^(ak*2^k+a(k-1)*2^(k-1)+...+a1*2+a0)=(A^(2^k))^ak*...*A^a0

如果能够得到A^(2^i)的值，就可以再经过logn次乘法得到A^n.

而这容易通过递推得到：

A^(2^i)=(A^(2^(i-1)))^2。根据上面的思想，具体代码如下：

Class Matrix;                                               //假设我们已经有了实现乘法操作的矩阵类
Matrix MatrixPow(const Matrix &m,int n){    //求解m的n次方
    Matrix result=Matrix::Identity;                 //赋初值为单位矩阵
    Matrix tmp=m;
    for(;n;n>>=1){
        if(n&1)result*=tmp;
        tmp*=tmp;
    }
}
int Fibonacci(int n){
    Matrix an=MatrixPow(A,n-1);                    //A的值就是上面求解出来的
    return F1*an(0,0)+F0*an(1,0);
}

整个算法的时间复杂度为O(logn)

解法3其实就是用到数学公式求得的矩阵A，求其n次幂时用了分冶的策略，减少了运算次数