斐波那契（Fibonacci）数列

编程之美

//递归，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)int Fibonacci(int n){    if(n==0||n==1)return n;    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);}//迭代，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)int Fibonacci(int n){    if(n==0||n==1)return n;    int f1=0,f2=1;    while(n-->=2)    {        f2+=f1;        f1=f2-f1;    }    return f2;}//通项公式int Fibonacci(int n){    double tmp=sqrt(double(5));    return int((pow((1+tmp)/2,n)-pow((1-tmp)/2,n))/tmp);}//分治，时间复杂度为O(logn)class Matrix{public:    Matrix(int,int,int,int);    Matrix operator*(Matrix);    int m[2][2];};Matrix::Matrix(int a,int b,int c,int d){    m[0][0]=a;    m[0][1]=b;    m[1][0]=c;    m[1][1]=d;}Matrix Matrix::operator*(Matrix rhs){    Matrix res(0,0,0,0);    res.m[0][0]=m[0][0]*rhs.m[0][0]+m[0][1]*rhs.m[1][0];    res.m[0][1]=m[0][0]*rhs.m[0][1]+m[0][1]*rhs.m[1][1];    res.m[1][0]=m[1][0]*rhs.m[0][0]+m[1][1]*rhs.m[1][0];    res.m[1][1]=m[1][0]*rhs.m[0][1]+m[1][1]*rhs.m[1][1];    return res;}Matrix MatrixPow(Matrix m,int n){    Matrix res(1,0,0,1),tmp=m;    for(;n;n>>=1)    {        if(n&1)res=res*tmp;        tmp=tmp*tmp;    }    return res;}int Fibonacci(int n){    if(n==0||n==1)return n;    return MatrixPow(Matrix(1,1,1,0),n-1).m[0][0];}

http://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/04/1559951.html

定理1：当n>=2时，f(n)和f(n-1)互素。
证：

gcd(f(n),f(n−1))=gcd(f(n−1),f(n)%f(n−1))=gcd(f(n−1),f(n−2))=...=gcd(f(2),f(1))=1

证毕。

定理2：当n>=1时，若i为奇数， f(i)*f(i)=f(i-1)*f(i+1)+1；若i为偶数，f(i)*f(i)=f(i-1)*f(i+1)-1。
证：数学归纳法

f(1)∗f(1)=f(0)∗f(2)+1f(2)∗f(2)=f(1)∗f(3)+1i:odd,i+1:eveni+2:odd,i+3:evenf(i+2)∗f(i+2)−f(i+1)∗f(i+3)−1=f(i+2)∗f(i+2)−f(i+1)∗f(i+2)−f(i+1)∗f(i+1)−1=f(i)∗f(i+2)−f(i+1)∗f(i+1)−1=0f(i+3)∗f(i+3)−f(i+2)∗f(i+4)+1=f(i+3)∗f(i+3)−f(i+2)∗f(i+3)−f(i+2)∗f(i+2)+1=f(i+1)∗f(i+3)−f(i+2)∗f(i+2)+1=0

证毕。

定理3：f(n)=f(i)*f(n+1-i)+f(i-1)*f(n-i)
证：

f(n)=f(2)∗f(n−1)+f(1)∗f(n−2)=[f(2)+f(1)]∗f(n−2)+f(2)∗f(n−3)=f(3)∗f(n−2)+f(2)∗f(n−3)=...=f(i)∗f(n+1−i)+f(i−1)∗f(n−i)

证毕。

令i=n/2，

f(2i)=f(i)∗f(i+1)+f(i−1)∗f(i)=f(i)∗[2f(i+1)−f(i)]f(2i+1)=f(i)∗f(i+2)+f(i−1)∗f(i+1)=f(i)∗f(i)+f(i+1)∗f(i+1)

int Fibonacci(int n){    if(n==0)return 0;    if(n==1||n==2)return 1;    //当n>=3时，n>n/2+1    int x=Fibonacci(n/2);    int y=Fibonacci(n/2+1);    if(n&1)return x*x+y*y;    return x*(2*y-x);}