错排问题 错排公式 Hdu 1465 + 2048 +2049 + 2068 + 4535

也称 伯努利-欧拉装错信封问题

n错排公式：F[n]=(n-1)*(F[n-1]+F[n-2])

证明：

1.当前n-1个错排时：将其任意一封信与n对调,共(n-1)*F[n-1]

2.当前n-2个错排，1个不错排时,将不错排的那封信与n对调,共(n-1)*F[n-2]

3.当前≤n-3个错排，≥2个不错排时,显然无解.

∴F[n]=(n-1)*F[n-1]+(n-2)*F[n-2]

通项公式 

更多介绍 参见wiki ： 错排问题 - 维基百科，自由的百科全书

Hdu 1465 不容易系列之一

#include <cstdio>  __int64 D[25]={0,0,1};int main ()  {int n;for (int i=3;i<=20;i++)D[i]=(i-1)*D[i-1]+D[i-2]*(i-1);  while (~scanf("%d",&n))printf("%I64d\n",D[n]);return 0;}

Hdu 2048 神、上帝以及老天爷

题目分析：错排公式的简单应用，错排公式为f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!] 目标概率为P=f(n)/n!;

P=[1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!];

本题7项之后对数值的影响就很小了，所以不必计算

#include <cstdio>int main (){int T,n;double ans[8]={0,0,50,33.33,37.50,36.67,36.81,36.79};scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);if (n>=7)printf("36.79%%\n");elseprintf("%.2lf%%\n",ans[n]);}return 0;}

Hdu 2049 不容易系列之(4)——考新郎

ans=C(n,n-m)*D(m)  ，m为找错的个数

#include <cstdio>const int N=25;__int64 C[N][N];__int64 D[N]={0,0,1};  void Init () {    int i,j;    for (i=1;i<=20;i++)    {        C[i][0]=C[i][i]=1;          for (j=1;j<i;j++)             C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j]);      }    for (i=3;i<=20;i++)        D[i]=(i-1)*(D[i-1]+D[i-2]);}int main (){    int n,m,T;    Init ();    scanf("%d",&T);    while (T--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        printf("%I64d\n",C[n][n-m]*D[m]);    }            return 0;}

Hdu 2068 RPG的错排

不可能只找对n-1组……

#include <cstdio>const int N=30;__int64 C[N][N];__int64 D[N]={0,0,1};  void Init () {int i,j;for (i=1;i<=25;i++){C[i][0]=C[i][i]=1;  for (j=1;j<i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j]);  }for (i=3;i<=25;i++)        D[i]=(i-1)*(D[i-1]+D[i-2]);}int main (){int n;Init ();while (scanf("%d",&n),n){int m=n-n/2;  //正确的个数__int64 ans=0,temp;for (int i=m;i<=n;i++)  if (i!=n-1)  //不可能只找对n-1组……{temp=1;if (n-i==0)  temp=1;elsetemp=C[n][i]*D[n-i];  ans+=temp;  }printf("%I64d\n",ans);}return 0;}

Hdu 4535 吉哥系列故事——礼尚往来

#include <cstdio>const int mod = 1000000007;__int64 D[200] = {0,0,1};int main (){int T,n;for (__int64 i=3;i<=100;i++)D[i] = ((D[i-1]+D[i-2])%mod)*(i-1)%mod;scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%d",&n);printf("%I64d\n",D[n]);}return 0;}