UVA 11478 Halum（二分 + 差分约束）

题目：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2473

题目大意：给你一个 n 个点 m 条有向边的图。有一种操作是：选定一个点 v 和一个整数 d ，把以 v 为终点的边权值减小 d ，把以 v 为起点的边权值都增加 d 。你要使所有边权值的最小值尽可能大，并且它要是 > 0 的（注意是 greater than 0 ，不是 >= 0），输出这个值。如果不存在就输出“No Solution”，如果这个值可以无限大，就输出“Infinite”。

解题思路：乍一看这道题目很复杂，无从下手，当我们无法算出这个值是多少的时候，有一种方法可以简化题目：二分答案！（题目中也有最小的值最大的字眼，我竟然没想到。。 = =）我们二分出一个值，要看这个值行不行。假设这个值是 x ，那么他就是最小边权。我们看题目，发现对同一个点的这种操作是可以合并的，假设 a 到 b 一条边，sum( i ) 是对 i 这个点的操作数值和，那么这条边的权值就变为了 w（a，b）+ sum（a）- sum（b），谈后他要大于等于 x 。可就是w（a，b）+ sum（a）- sum（b）>= x，即 sum（b）- sum（a）<= w（a，b）-x，不等式右边，是一个已知常数。对于所有的点都有这个不等式，也就是我们得到了了一个不等式组。然后就是差分约束了，判断是否有解，即是否有负环即可。

然后还有两个特判要做，假设输入边权的最大值是max_c，那么如果我们把所有 边权都 - （max_c+1），那么所有边权都为 负了，如果这个时候还没有负环，就肯定不会有负环了，所以就是无穷大了。另外我们它要 >0，那么我们就另 x = 1，如果这个时候还有负环，那么就肯定是无解。这里我顺便提一句，书上估计是写错了，写的是非负，为什么那么多人博客上写的也是非负，然后后面判断是否无解用的是 1。我就是因为没直接看题目，用的是 0 ，然后 WA 几次，去搜博客才发现这个问题，当时我就很不解，还好有一个人提到了这个地方，才去看了边英文原题。。

另外，差分约束判负环可以不用超级源，因为 自己创的源点 s 是连到了所有点，所以只要像做最短路一样，把 s 一个压倒队列里就行了，这样应该回比超级源快点。

好吧，无论怎么样，这是鄙人的第一道差分约束，基本上是理解了一点。如果各位对差分约束不懂的话，可以看我转的那篇文章：传送门

代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<queue>#include<algorithm>using namespace std;const int INF = 0x0fffffff;const int MAXN = 555;const int MAXM = 2777+MAXN;struct Edge{    int s,t,next,val;} edge[MAXM];int head[MAXN],tot;void init(){    memset(head,-1,sizeof(head));    tot = 0;}void add_edge(int s,int t,int val){    edge[tot].s = s;    edge[tot].t = t;    edge[tot].val = val;    edge[tot].next = head[s];    head[s] = tot++;}int inq[MAXN],cnt[MAXN],d[MAXN];int negative_cycle(int n){    queue<int>q;    memset(inq,0,sizeof(inq));    memset(cnt,0,sizeof(cnt));    for(int i = 0;i <= n;i++)    {        d[i] = INF;        inq[i] = 1;        q.push(i);    }    while(!q.empty())    {        int cur = q.front();        q.pop();        inq[cur] = 0;        for(int i = head[cur];i != -1;i = edge[i].next)        {            int next_id = edge[i].t;            int tmp = d[cur]+edge[i].val;            if(d[next_id] > tmp)            {                d[next_id] = tmp;                if(!inq[next_id])                {                    inq[next_id] = 1;                    q.push(next_id);                    if(++cnt[next_id] > (n+1)) return 1;                }            }        }    }    return 0;}int check(int mid,int n){    for(int i = 0;i < tot;i++)        if(edge[i].s != 0)            edge[i].val -= mid;    int ok = negative_cycle(n);    for(int i = 0;i < tot;i++)        if(edge[i].s != 0)            edge[i].val += mid;    return ok;}int main(){    int n,m;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        init();        int max_c = -INF;        while(m--)        {            int a,b,c;            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);            add_edge(a,b,c);            max_c = max(max_c,c);        }        for(int i = 1;i <= n;i++)            add_edge(0,i,0);        if(!check(max_c+1,n))        {            puts("Infinite");            continue;        }        if(check(1,n))        {            puts("No Solution");            continue;        }        int l = 0,r = max_c;        int ans;        while(l <= r)        {            int mid = (l+r)>>1;            if(!check(mid,n))            {                ans = mid;                l = mid+1;            }            else r = mid-1;        }        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}