uva 11478 Halum (差分约束+二分+SPFA判负环)

n个顶点，m条边的有向图。定义Halum操作：选择一个结点和一个整数d使得所有以v为终点的边权值减少d，同时所有以v为起点的边的权值增加d。最后让所有边权值为正（大白书上的题意说明有误）并且尽量大。输出最小边权的最大值。

分析：

1、操作相互独立且同一个结点的多次操作可以合并。设对于顶点u，操作若干次后，与u关联的边权和为sum[u]。

2、那么，对于一条边a->b，操作后权值为w(a,b)+sum(a)-sum(b)。w(a,b)为原来的权值。

3、考虑问题：最小值最大。可用二分法求解的典型问题。设问题答案为x。则问题转化为能否使得操作完后所有边权都至少为x。即任意a->b，w(a,b)+sum(a)-sum(b)>=x

4、将上述不等式变形为：sum(b)-sum(a)<=w(a,b)-x。问题转为求该差分约束系统是否有解。

5、变形后的不等式与最短路中的不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]类似，因此可用最短路算法来求解。

6、如何建图？对于约束条件b-a<=c，建立一条边a->b，权值为c。

7、对于新建的图跑一遍SPFA，判断是否有负环。若有负环则无解。原因：若有环，则存在若干不等式左侧相加之后为0（环），而右侧相加结果小于0(负环）。不满足左侧小于等于右侧。

8、如何求上面的各个sum？添加一个源点s，从s出发与所有其他点相连，权值为0。那么由s出发到各个点的距离就是该点的sum值。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;typedef double db;#define maxn 505struct Edge{    int from,to,dist;};struct BellmanFord  //顶点从0开始！！！{    int n,m;    vector<Edge> edges;    vector<int> G[maxn];    bool inq[maxn]; //是否在队列中    int d[maxn]; //s到各个点的距离    int p[maxn];    //路径    int cnt[maxn];  //进队次数    void init(int n)    {        this->n=n;        for(int i=0; i<n; ++i) G[i].clear();        edges.clear();    }    void AddEdge(int from,int to,int dist)    {        edges.push_back((Edge)        {            from,to,dist        });        m=edges.size();        G[from].push_back(m-1);    }    bool negativeCycle()    {        queue<int> Q;        memset(inq,0,sizeof(inq));        memset(cnt,0,sizeof(cnt));        for(int i=0; i<n; ++i)        {            d[i]=0;            inq[0]=1;            Q.push(i);        }        while(!Q.empty())        {            int u=Q.front();            Q.pop();            inq[u]=0;            for(int i=0; i<G[u].size(); ++i)            {                Edge e=edges[G[u][i]];                if(d[e.to]>d[u]+e.dist)                {                    d[e.to]=d[u]+e.dist;                    p[e.to]=G[u][i];                    if(!inq[e.to])                    {                        Q.push(e.to);                        inq[e.to]=1;                        if(++cnt[e.to]>n) return true;                    }                }            }        }        return false;    }};BellmanFord B;bool check(int x){    int i;    for(i=0; i<B.m; ++i) B.edges[i].dist-=x;    bool f=B.negativeCycle();    for(i=0; i<B.m; ++i) B.edges[i].dist+=x;    return f;}int main(){    int i,n,m;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        B.init(n);        int x,y,z,L=1,R=10000;        for(i=1; i<=m; ++i)        {            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);            --x,--y;            B.AddEdge(x,y,z);        }        if(check(1)) puts("No Solution");        else if(!check(10000)) puts("Infinite");        else        {            while(R-L>0)            {                int m=(L+R)>>1;                if(check(m)) R=m;                else L=m+1;            }            printf("%d\n",L-1);        }    }    return 0;}