康拓展开及应用
来源:互联网 发布:java对象转换成json 编辑:程序博客网 时间:2024/05/24 01:51
转载自:令羽
康拓展开及应用
题目:给出n个互不相同的字符, 并给定它们的相对大小顺序,这样n个字符的所有排列也会有一个顺序. 现在任给一个排列,求出在它后面的第i个排列.
这是一个典型的康拓展开应用,首先我们先阐述一下什么是康拓展开。
(1)康拓展开
所谓康拓展开是指把一个整数X展开成如下形式:
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。(其中,a为整数,并且0<=a[i]<i(1<=i<=n))
(2)应用实例
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个:123 132 213 231 312 321。他们间的对应关系可由康托展开来找到。
1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:
第一位是1小于1的数没有,是0个 0*3! ;
第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,即1未出现在前面的低位当中,所以只有一个数2 1*2! ;
第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,即1未出现在前面的低位当中,所以有0个数 0*1! ;
所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。
其代码实现为:
View Code
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 int Cantor(int *s,int n); //康托展开,判断给定的排列位于全排列中的第几个
5 long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示阶乘运算的结果
6 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};
7
8 int main(int argc,char *argv)
9 {
10 int s[4]={2,1,3,4}; //表示排列2134
11 int len=4; //表示数列中数字数目
12 int index=Cantor(s,len);
13 cout<<index<<endl;
14 return 0;
15 }
16 int Cantor(int *s,int n)
17 {
18 int i,j,num,temp;
19 num=0;
20 for(i=0;i<n;i++)
21 {
22 temp=0; //temp记录当前数位前面的低数位中小于当前位数上的数字的个数
23 for(j=i+1;j<n;j++)
24 if(s[j]<s[i])
25 temp++;
26 num+=fac[n-1-i]*temp; //乘以相应的阶乘
27 }
28 return num;
29 }
如何判断给定一个位置,输出该位置上的数列,康拓展开的逆运算,例如:
{1,2,3,4,5}的全排列,并且已经从小到大排序完毕,请找出第96个数: 首先用96-1得到95
用95去除4! 得到3余23,即有3个数比该数位上的数字小,则该数位的数字为4;
用23去除3! 得到3余5,即有3个数比该数位上的数字小,理应为4,但4已在前面的高位中出现过,所以该数位的数字为5;
用5去除2!得到2余1,即有2个数比该数位上的数字小,则该数位的数字为3;
用1去除1!得到1余0,即有1个数比该数位上的数字小,则该数位的数字为2;
最后一个数只能是1;
所以这个数是45321
其代码实现:
View Code
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 void CantorReverse(int index,int *p,int n); //康托展开逆用,判断给定的位置中的排列
5 long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示阶乘运算的结果
6 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};
7
8 int main(int argc,char *argv)
9 {
10 int len=5;
11 int *s=(int *)malloc(len*sizeof(int));
12 CantorReverse(96,s,len); //有数字{12345}组成的所有排列中,求出第96个排列的顺序
13 for(int i=0;i<len;i++)
14 cout<<s[i];
15 cout<<endl;
16 free(s);
17 return 0;
18 }
19 void CantorReverse(int index,int *p,int n)
20 {
21 index--; //勿丢
22 int i,j;
23 bool hash[10]={0};
24 for(i=0;i<n;i++)
25 {
26 int tmp=index/fac[n-1-i]; //tmp表示有tmp个数字比当前位置上的数字小
27 for(j=0;j<=tmp;j++)
28 if(hash[j]) tmp++;
29 p[i]=tmp+1;
30 hash[tmp]=1;
31 index%=fac[n-1-i];
32 }
33 return;
34 }
(2)题目解决
通过以上分析,则本章开头提出的题目就迎刃而解了,先通过给定的序列,求出所在位置,再加上i,得到 i 以后的位置,最后根据位置求出序列。相信大家能自己写出程序,在此就不具体写出了。
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#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int kMaxFac = 20;const int kMaxN = 20;int fac[kMaxFac];int permutation[kMaxN];int n;int CalcFac(int n) { if (n == 0) { return fac[0] = 1; } else { return fac[n] = CalcFac(n - 1) * n; }}int Cantor() { int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { int t = 0; for (int j = i + 1; j <= n; ++j) { if (permutation[j] < permutation[i]) { t++; } } ans += t * fac[n-i]; } return ans + 1;}int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin >> n; CalcFac(n); for (int i = 1; i <= n; ++i) { cin >> permutation[i]; } cout << Cantor() << endl; return 0;}可用以解决八数码问题。
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