康拓展开与逆康拓展开原理及实现

1.康托展开的解释

康托展开就是一种特殊的哈希函数

　　把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a[n]*n!+a[n-1]*(n-1)!+...+a[2]*2!+a[1]*1!

　　其中，a为整数，并且0<=a<i,i=1,2,..,n

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个 
。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以 

有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

(1)找出第96个数

　　首先用96-1得到95

　　用95去除4! 得到3余23

　　用23去除3! 得到3余5

　　用5去除2!得到2余1

　　用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4

　　所以第一位是4

　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）

　　有2个数比它小的数是3

　　有1个数比它小的数是2

　　最后一个数只能是1

　　所以这个数是45321

康拓展开与逆康拓展开C++代码：

/*input1 51 2 3 4 51 51 2 3 5 42 511 54 5 3 2 12 595OutputCantor=0Cantor=1数列为：1 2 3 5 4Cantor=95数列为：4 5 3 2 1*/#include<iostream>#include<cstdio>#include<string>#include<cmath>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<cstring>#include<algorithm>#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)#define rev(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)#define clr(a,x) memset(a,x,sizeof a)#define inf 0x3f3f3f3ftypedef long long LL;using namespace std;const int mod=1e9 +7;const int maxn=2005;const int maxm=4005;int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};int cantor(int *s,int n){    int num=0;    for(int i=0;i<n-1;i++)    {        int tmp=0;        for(int j=i+1;j<n;j++)            if(s[j]<s[i])tmp++;        num+=fac[n-i-1]*tmp;    }    return num;}void _cantor(int *s,int n,int x){    bool tmp[n+1];    clr(tmp,0);    for(int i=n-1;i>=0;i--)    {        int k=x/fac[i];x%=fac[i];        int j=1;        for(int sum=0;sum<k||tmp[j];j++)            if(!tmp[j])sum++;        s[n-1-i]=j;        tmp[j]=1;    }}int main(){    int flag,n;    while(~scanf("%d%d",&flag,&n))    {        if(flag==1)        {            int s[n];            for(int i=0;i<n;i++)                scanf("%d",&s[i]);            printf("Cantor=%d\n",cantor(s,n));        }        else if(flag==2)        {            int x,ans[n];            scanf("%d",&x);            _cantor(ans,n,x);            cout<<"数列为：";            for(int i=0;i<n;i++)                printf("%d%c",ans[i],i==n-1?'\n':' ');        }    }    return 0;}

优化（逆序过程优化为nlogn）

/*input1 51 2 3 4 51 51 2 3 5 42 511 54 5 3 2 12 595OutputCantor=0Cantor=1数列为：1 2 3 5 4Cantor=95数列为：4 5 3 2 1*/#include<iostream>#include<cstdio>#include<string>#include<cmath>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<cstring>#include<algorithm>#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)#define rev(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)#define clr(a,x) memset(a,x,sizeof a)#define inf 0x3f3f3f3ftypedef long long LL;using namespace std;const int mod=1e9 +7;const int maxn=2005;const int maxm=4005;int c[maxn];int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};inline int lowbit(int x){    return -x&x;}void update(int x,int v,int n){    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))        c[i]+=v;}int getsum(int x){    int tmp=0;    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))        tmp+=c[i];    return tmp;}int cantor(int *s,int n){    int num=0;    clr(c,0);    for(int i=n-1;i>=0;i--)    {        update(s[i],1,n);        int tmp=getsum(s[i])-1;        num+=fac[i]*tmp;    }    return num;}void _cantor(int *s,int n,int x){    bool tmp[n+1];    clr(tmp,0);    for(int i=n-1;i>=0;i--)    {        int k=x/fac[i];x%=fac[i];        int j=1;        for(int sum=0;sum<k||tmp[j];j++)            if(!tmp[j])sum++;        s[n-1-i]=j;        tmp[j]=1;    }}int main(){    int flag,n;    while(~scanf("%d%d",&flag,&n))    {        if(flag==1)        {            int s[n];            for(int i=0;i<n;i++)                scanf("%d",&s[i]);            printf("Cantor=%d\n",cantor(s,n));        }        else if(flag==2)        {            int x,ans[n];            scanf("%d",&x);            _cantor(ans,n,x);            cout<<"数列为：";            for(int i=0;i<n;i++)                printf("%d%c",ans[i],i==n-1?'\n':' ');        }    }    return 0;}

参考：http://www.cnblogs.com/hxsyl/archive/2012/04/11/2443009.html