NYOJ 291 LK数学题（欧拉函数）

LK的数学题

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难度：3

描述

LK最近遇到一个问题，需要你帮她一下。一个整数n，求[1,n)中，和n互素的数的个数。

 

输入

多组测试数据，每一行有一个整数n（n<1000000001），0表示输入结束。

输出

小于n同时和n互素的整数的个数

样例输入

7120

样例输出

6 4

初次接触到欧拉函数，当然先百度啦！！

    
     在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。
     φ函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
     若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
     设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
 
c语言实现
int eular(int n) 
{ 
  int ret=1,i; 
  for(i=2;i*i<=n;i++) 
    if(n%i==0) 
    { 
      n/=i,ret*=i-1; 
      while(n%i==0) 
      n/=i,ret*=i; 
    } 
  if(n>1) 
    ret*=n-1; 
  return ret; 
}
 
AC的代码：
 
#include<iostream>using namespace std;int eular(int n){    int ret=1,i;    for(i=2; i*i<=n; i++)        if(n%i==0)        {            n/=i;            ret*=i-1;            while(n%i==0)            {                n/=i;                ret*=i;            }
        }    if(n>1)        ret*=n-1;    return ret;
}int main(){    int n;    while(1)    {        cin>>n;        if(n==0)            return 0;        cout<<eular(n)<<endl;    }    return 0;}