最长公共子序列

最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（LongestCommon Subsequence）。其定义是，一个序列 S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S称为已知序列的最长公共子序列。

算法分析

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j]的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i]= Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j =0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

 

#include <stdio.h>#include <string.h>#define MAXLEN 100void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN]){    int i, j;        for(i = 0; i <= m; i++)        c[i][0] = 0;    for(j = 1; j <= n; j++)        c[0][j] = 0;    for(i = 1; i<= m; i++)    {        for(j = 1; j <= n; j++)        {            if(x[i-1] == y[j-1])            {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                b[i][j] = 0;            }            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])            {                c[i][j] = c[i-1][j];                b[i][j] = 1;            }            else            {                c[i][j] = c[i][j-1];                b[i][j] = -1;            }        }    }}void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j){    if(i == 0 || j == 0)        return;    if(b[i][j] == 0)    {        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);        printf("%c ", x[i-1]);    }    else if(b[i][j] == 1)        PrintLCS(b, x, i-1, j);    else        PrintLCS(b, x, i, j-1);}int main(int argc, char **argv){    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};    int b[MAXLEN][MAXLEN];    int c[MAXLEN][MAXLEN];    int m, n;        m = strlen(x);    n = strlen(y);        LCSLength(x, y, m, n, c, b);    PrintLCS(b, x, m, n);        return 0;}