有向图的割点问题

求一个有向连通图的割点，割点的定义是，如果除去此节点和与其相关的边，
有向图不再连通，描述算法。

-----------------------------------------

图的割点问题，深度优先遍历，如果某点的所有子孙节点与其祖先节点之间没有相连的边。

From : http://sokoban.ws/blog/?p=1000

用DFS遍历一个图的所有顶点时，按访问顺序依次标号为1到n，称之为DFS数。顶点v的DFS数记作D(v)。并得到一棵DFS树（黑色边），称DFS树的边为树边（tree edge），其余的边（红色边）称为回头边（back edge）。如下图，图的边都按搜索过程中向外的方向定向，得到一个有向图。树边都是从DFS数小的顶点指向大的，回头边都是从DFS数大的顶点指向小的。

 

根据上面由深度优先搜索得到的有向图中，可定义每个顶点的低位数（lowpoint）：从该顶点出发，只用最多一条回头边，沿有向边能走到的顶点中DFS数最小值。顶点v的低位数记为L(v)。

低位数取值有两种情况：一是没用上回头边，则能走到的DFS数最小的的顶点就是该点自身，对应的路是一个顶点构成的平凡的路。此时L(v)=D(v)。二是用了回头边，则一定是最后一条边是回头边，走到一个DFS数更小的顶点。此时L(v)<=D(v)。

所以，一般地，总有L(v)<=D(v)。

有了这两个参数，就可以确定割点了：对根节点，即DFS数为1的顶点，其为割点当且仅当在DFS树中有两个或以上子节点；其余所有非根节点v是割点的充分必要条件是：v存在一个子节点u（在DFS树中的子节点）满足u的低位数大于等于v的DFS数，即L(u)>=D(v)。

下图标出的顶点的低位数（圈外数字，没标圈外数字的顶点低位数和DFS数相等），绿色顶点为割点。

注：若用 DFS的深度（depth）来替代上面算法中的DFS数，并用深度来计算低位数，则算法一样能有效地找出割点。

#include <iostream>#include <math.h>#define MAX_NUM 4using namespace std;/**  * g is defined as : g[i][] is the out edges, g[i][0] is the edge count, g[i][1...g[i][0]] are the other end points.*/int cnt = 0;int visit[MAX_NUM];int lowest[MAX_NUM];int cuts[MAX_NUM];int dfs(int g[][MAX_NUM], int cuts[], int n, int s, int root) {  int out = 0;  int low = visit[s];  for (int i = 1; i <= g[s][0]; ++i) {    if (visit[g[s][i]] == 0) {      ++out;      visit[g[s][i]] = ++cnt;      int clow = dfs(g, cuts, n, g[s][i], root);      if (clow < low)        low = clow;    }    else if (low > visit[g[s][i]])      low = visit[g[s][i]];  }  lowest[s] = low;  if (s == root && out > 1)    cuts[s] = 1;  return low;}void getCutPoints(int g[][MAX_NUM], int cuts[], int n) {  memset(cuts, 0, sizeof(int) * n);  memset(visit, 0, sizeof(int) * n);  memset(lowest, 0, sizeof(int) * n);  for (int i = 0; i < n; ++i)     if (visit[i] == 0) {      visit[i] = ++cnt;      dfs(g, cuts, n, i, i);    }}int main() {  int g[][MAX_NUM] = {{3,1,2,3}, {1,2,0,0}, {1,3,0,0}, {1,1,0,0}};  getCutPoints(g, cuts, MAX_NUM);  return 0;}