数据结构基础（13）------------Heap排序

 数据结构基础（13）------------Heap排序

1.1991年计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(Robert W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同发明了著名的堆排序算法（ Heap Sort )。

2.什么是堆？

n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为（Heap），当且仅当该序列满足如下性质（简称为堆性质）：

(1)ki<=k(2i）且ki<=k(2i+1)(1≤i≤ n/2），当然，这是小根堆，大根堆则换成>=号。其中k(i)相当于二叉树的非叶子结点，k(2i)相当于非叶结点的作子结点，看k(2i+1)相当于非叶节点的右子结点。

若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任意一个非叶子结点的关键字均不大于或均不小于孩子结点（若有）的关键字。

大根堆和小根堆：根结点（亦称为堆顶）的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆，又称最小堆。根结点（亦称为堆顶）的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆，又称最大堆。注意：①堆中任一子树亦是堆。②以上讨论的堆实际上是二叉堆（Binary Heap），类似地可定义k叉堆。

2.堆排序的基本步骤：

堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。

（1）用大根堆排序的基本思想

① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区

② 再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key

③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。

……

直到无序区只有一个元素为止。

（2）大根堆排序算法的基本操作：

① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；

② 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆（亦称重建堆）。

3.

①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。

②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。

4.堆排序（HeapSort）是一种选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系（参见二叉树的顺序存储结构），在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的记录。

5.区别：直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。

堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。

6.算法性能：在正式排序时，第i次取堆顶记录重建堆的复杂度为O(logi)时间，并且需要取n-1次记录，因此重建堆的时间复杂度为O(nlogn).故而总体来说，堆排序的时间复杂度为O(nlogn);由于堆排序对原始记录的排序状态并不敏感，因此不论是最好，最坏，平均时间复杂度均为O(nlogn).

空间复杂度，只需要一个用来交换的暂存单元，故而也不错。但是由于记录的比较与交换是跳跃式进行，故而堆排序是一种不稳定的排序算法！由于初始建堆需要多次比较，故而并不适用于待排序列较少的情况！

7.代码实现：

void HeapAdjust(int *a,int begin,int end)

{
    if (nullptr==a){return ;}if (begin<0 || end<0){return ;}if (begin>=end){return ;}int temp=a[begin];for (int i=2*begin;i<=end;i*=2) //沿着关键字较大的结点孩子向下筛选{if (i<end && a[i]<a[i+1]){++i;}if (temp>=a[i])  {break; //找到插入位置i.}a[begin]=a[i];  //大值向上移动，并记录当前子结点的位置begin=i;}a[begin]=temp;  //进行插入}void HeapSort(int *a,int length){//创建大顶堆for (int i=((length-1)/2);i>=0;--i){HeapAdjust(a,i,length-1);}for (int i=length-1;i>=0;--i){//始终交换堆顶记录与无序序列的最后一个值int temp=a[0];a[0]=a[i];a[i]=temp;//将剩下的无序序列，创建成堆HeapAdjust(a,0,i-1);}}