hdu1003 Max Sum （DP）

来源：互联网发布：2017流行网络歌曲名字编辑：程序博客网时间：2024/05/16 10:40

简单的DP

状态转移方程

dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],a[j]);

题目

#include <iostream>using   namespace  std;int  main(){    int T,N;    int sum,max;    int a,start,end;    cin>>T;    for(int i = 1;i <= T;i++)    {        cin>>N;        start = end  =1;        sum = 0,max = -9999;        for(int j = 1,k = 1;j <=N;j++)        {            cin>>a;            sum += a;            if(sum > max){max = sum; start = k;end = j;}            if(sum < 0){sum = 0;k = j + 1;}        }        cout<<"Case "<<i<<":"<<endl<<max<<" "<<start<<" "<<end<<endl;        if(i < T)cout<<endl;    }    return  0;}

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1003 Max Sum题目地址

初来乍到，动态规划也是刚刚接触。刚开始用暴力法，Time limit……

在网上搜了代码。大多是只说是动态规划经典问题、求最大子序列和，然后就是一串代码。最好的就是带了几行注释…没有太多通俗的解释…硬着头皮看了一晚上，终于算是有了眉目想通了。

在这里写下自己对这个动态规划求最大子序列和的理解，通俗一点的解释。（只是个人的理解哦，仅供参考）

这里的求最大子序列和应该是变种了吧，呵呵，还要加上最大子序列的起始和终止位置……只要知道怎么求最大子序列和，那么附加个位置应该不难的。

先来看代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int j,i,k,n,m,t;
int a[100002];
scanf("%d",&t);
for (j=1;j<=t;j++)
{
scanf("%d",&n);
for (i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
int sum=0,maxsum=-1001,first =0, last = 0, temp = 1;
for (i=0;i<n;i++)
{
sum += a[i];
if (sum > maxsum)
{
maxsum = sum;first = temp;last = i+1;
}
if (sum < 0)
{
sum = 0;temp = i+2;
}
}
printf("Case %d:\n%d %d %d\n",j,maxsum,first,last);
if (j!=t)
{
printf("\n");
}
}
return 0;
}

本想用通俗的话语来解释这个道理，结果发现，通俗了以后就非文字所能描述的好的了，需要各种的手势+纸笔画一阵子，无奈表达能力有限，只好……只好用这样的看似非常严密的数学推理来说明了（囧)

对于整个序列a[n]来说，它的所有子序列有很多很多，但是可以将它们归类。

注意，是以**结尾的子序列，其中肯定是要包含**的了

以a[0]结尾的子序列只有a[0]

以a[1]结尾的子序列有 a[0]a[1]和a[1]

以a[2]结尾的子序列有 a[0]a[1]a[2] / a[1]a[2] / a[2]

……

以a[i]结尾的子序列有a[0]a[1]……a[i-2]a[i-1]a[i] / a[1]a[2]……a[i-2]a[i-1]a[i] / a[2]a[3]……a[i-2]a[i-1]a[i] / …… / a[i-1]a[i] / a[i]

所有以a[0] ~a[n]结尾的子序列分组构成了整个序列的所有子序列。

这样，我们只需求以a[0]~a[n]结尾的这些分组的子序列中的每一分组的最大子序列和。然后从n个分组最大子序列和中选出整个序列的最大子序列和。

观察可以发现，0，1，2，……，n结尾的分组中，

maxsum a[0] = a[0]

maxsum a[1] = max( a[0] + a[1] ，a[1]) = max( maxsum a[0] + a[1] ，a[1])

maxsum a[2] = max( max ( a[0] + a[1] + a[2]，a[1] + a[2] )，a[2])

= max( max( a[0] + a[1] ，a[1]) + a[2] ， a[2])

= max( maxsum a[1] + a[2] ， a[2])

……

依此类推，可以得出通用的式子。

maxsum a[i] = max（ maxsum a[i-1] + a[i]，a[i])

用递归……当然，不递归也应该是可以解决的。

我们从maxsum a[0]开始算起。

以后的每个就是 maxsum a[i-1] + a[i] 和 a[i] 中取大的那个。

程序中判断前一个的最大子序列和小于零时，将其置为0，然后再加a[i] ，这样不就是和a[i] 一样大的么；前一个的最大子序列和只要大于零，那么再加上a[i] 肯定比 a[i] 要大，这样，带有归零的这个 maxsum a[i-1] + a[i] 就是以表示当前位置结束的子序列的最大和了。

剩下的就是要判断起始和终点位置了。

在循环的过程中，每循环一次就算出一个以当前位置结束的最大子序列和。每次循环中最大的那个保存下来，不就是最终所有最大子序列和中的最大值了么。

其中temp保存的是前一个位置的最大子序列和的开始位置（题目中是从1开始的哦）；当 sum > maxsum 时（程序中的条件，与说明时的maxsum不太一样哦）就记录最大值，并保持它的开始位置为temp，终止位置即为当前位置（i +1是因为题目中第一个为1，而不是0）；

当最大子序列和小于0时，将 temp = i + 2；其中 i + 1 表示当前位置（理由如上），i + 2就表示当前位置的下一个位置了。既此最大子序列和为负值，那么下一个的最大子序列和应该是它本身，而不再累加前边的。

程序中就两个if 语句，想要说明白还真不容易。

还有，有人会问，当整个序列全是负数时，还对吗？负数也是成立的，如果全是负数的时候，它就是每次都只取当前值作为最大值了，因为负的跟负的不就越加越小了吗。

因为题目中给出的范围是-1000 ～1000，所以这里初始的maxsum 初始化为-1001 ，只有比所有可能的值都小时才行。maxsum初始化为0；那么当序列全是负数时，得出的最大值将是0……这就wrong了

总之，只要上一个子序列最大和为正，那么无论当前值的正负，都会与当前的相加，这样以当前值结尾的子序列最大和就会增大。（一个正数加一个正数2 或者负数那么都会比这个正数2 或负数原来要增大，同理，一个负数加任何一个数，都会使这个数减小，因此当前一子序列最大和小于零时，我们就归零它了，相当于是不加任何数，而保留当前位置值本身）

内存优化版：

理解了以上思想后，观察上一个代码我们发现，那个a[10000]基本上就没用啊，保存了一些输入数据，可是那些数据只用了一次就没用了。输入数据的for循环和处理数据的for循环是一模一样的，而且处理数据也只是用到当前输入的数据。

于是，数组也可以省去了，直接将两个循环合并。输入一个数据，直接累加……省下不少空间哦。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int j,i,k,n,m,t;
int a; //不需要数组，只需要一个输入变量
scanf("%d",&t);
for (j=1;j<=t;j++)
{
scanf("%d",&n);
int sum=0,maxsum=-1001,first =0, last = 0, temp = 1;
for (i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a);
sum += a;
if (sum > maxsum)
{
maxsum = sum;first = temp;last = i+1;
}
if (sum < 0)
{
sum = 0;temp = i+2;
}
}
//注意格式，我就因为将冒号写到了数的前边而wrong answer，郁闷半天才发现……
printf("Case %d:\n%d %d %d\n",j,maxsum,first,last);
if (j!=t)
{
printf("\n");
}
}
return 0;
}

原文

0 0