时间复杂度和空间复杂度整理

常用的算法的时间复杂度和空间复杂度

排序法

最差时间分析平均时间复杂度稳定度空间复杂度冒泡排序O(n²)O(n²)稳定O(1)快速排序O(n²)O(n*log₂n)不稳定O(log₂n)~O(n)选择排序O(n²)O(n²)稳定O(1)二叉树排序O(n²)O(n*log₂n)不一顶O(n)

插入排序

O(n²)O(n²)稳定O(1)堆排序O(n*log₂n)O(n*log₂n)不稳定O(1)希尔排序OO不稳定O(1)

时间复杂度 

（1）时间频度 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
（2）时间复杂度 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
时间频度不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...， k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
（3）最坏时间复杂度和平均时间复杂度 　最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。
在最坏情况下的时间复杂度为T(n)=0(n)，它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于0(n)。 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。
指数阶0(2n)，显然，时间复杂度为指数阶0(2n)的算法效率极低，当n值稍大时就无法应用。

PS：说一下时间复杂度O(n)、O(1)分别代表什么意思

举个简单的例子，要从0加到n，我们会这么写：
int sum = 0;
for(int i = 0; i<=n; ++i){
    sum += i;
}
一共算了n次加法，那么就说这个时间复杂度是O(n)。当然O(n)的精确的概念是，是n的最高次方，比如，某个计算共计算了3n + 2次，那么这个时间复杂度也是O(n)，因为3n + 2中的最高次方是n。

如果代码这么写：
int sum = 0;
for(int i = 0; i<=n; ++i){
    for(int j = 0; j <=n; ++j){
    sum += (i + j);
    }
}

很显然一共算了n^2次加法，那么就说这个时间复杂度是O(n^2)，和上面类似，如果某个算法计算了3*n^2 + n + 1次，其时间复杂度仍然是O(n^2)，因为3*n^2 + n + 1中最高的次方是n^2

所谓O(1)就是计算的次数是个常量，我们还以上面从0加到n的例子来说，如果我们用等差数列的公式，那么，代码可以这么写：
int sum = n * (n + 1) / 2
不管n有多大(当然不能溢出了)，通过上面的公式只需计算一次，也就说计算的次数是不变的，这种情况的时间复杂度就可以说成O(1)。 再比如如果某个计算，不管其他条件怎么变化，均只需计算5次即可得出结果，那么这种情况的时间复杂度，也是O(1)。

空间复杂度

简单的说：空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作: S(n)=O(f(n)) ，我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。

复杂的说：一个程序的空间复杂度是指运行完一个程序所需内存的大小。利用程序的空间复杂度，可以对程序的运行所需要的内存多少有个预先估计。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为现实计算所需信息的辅助空间。程序执行时所需存储空间包括以下两部分。　　

（1）固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关。主要包括指令空间（即代码空间）、数据空间（常量、简单变量）等所占的空间。这部分属于静态空间。
（2）可变空间，这部分空间的主要包括动态分配的空间，以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。
一个算法所需的存储空间用f(n)表示。S(n)=O(f(n))　　其中n为问题的规模，S(n)表示空间复杂度。

PS：说一下空间复杂度O(n)、O(1)、O(logn)分别代表什么意思

比如排序算法中的快速排序，显然会需要一个栈来记录递归返回地址,所以额外空间是O(logn)。
堆排序虽然是在原数组中建堆，但是每做一次sift_down操作要同时做一次交换，交换操作一般需要一个临时变量，所以也说额外空间是O(1)
还有像2路归并排序，需要一个额外的数组，所以额外空间是O（n）

再比如DFS通常需要一个o(n)的二进制数组来进行回溯。

当然，还有一些外排序算法，通过交换区和虚拟内存技术，可以减少内存空间。

时间复杂度O(n)与空间复杂度O(1)是什么意思