EOJ 2067 Solution Report - Building Roads

来源：互联网发布：淘宝视频短片拍摄教程编辑：程序博客网时间：2024/06/06 23:58

原文地址：http://linus-young.github.io/blog/2014/04/15/eoj-2067-solution-report-building-roads/

原题地址：EOJ 2067

keyword: `最小生成树(Minimum Spanning Tree)`, `Prim Algorithm`

1. 题目描述

标记为 1-N 的 N 个农场，它们分布在平面直角坐标系的第一象限，位置用 (Xi, Yi) 标记。现已修好了 M 条路（每条路连接两个农场），请求出为了将所有的农场连接起来最少还需要修多长的路。

Note:

1⩽N⩽1000

1⩽M⩽1000

1⩽Xi⩽1,000,000

1⩽Yi⩽1,000,000

2. 解题思路

熟悉图论的可能会立即想到数据结构书中对于最小生成树的描述：

在 n 个城市间最多可建造 n(n−1)2 条线路。如何在这些可能的线路中，选择其中（n-1）条线路，使其总的代价最小，或者线路的总长度最短？为了回答上述问题，引进最小（代价）生成树的概念。一个带权连通无向图 G 的最小（代价）生成树是 G 的所有生成树中边上的权之和最小的一棵生成树。

本题其实就是求已知其中的几条边的情况下的最小生成树。

实现起来有两种差不多的方法.

思路 1 :

对于已经修好的路

cost[i][j] = cost[j][i] = -1

其中 cost[i][j] 二维数组是代价邻接矩阵，也就是 i 和 j 之间的距离。

本题情况下，除了修好的路，默认有：

i = j , cost[i][j] = 0, 其余的就是正常的两点间距离。

对于 Prim 算法，

lowcost[i] 代表的是为了将某个顶点 i 加入到当前已生成的最小生成树中所需的最小代价, 所以对于已修好的路所涉及的两个顶点，他们的 lowcost 均为 -1, 是一定会被加入到最小生成树中的，但是再算最后的距离和的时候，这种 -1 是不应该被算进去的。

其余的部分基本就是按照书上的 prim 算法来，先找到与 i 最近的那个顶点 k，

然后将顶点 k 加入到最小生成树中，而由于 k 的加入，所以要改变剩下的点的最小代价。

思路 2 :

对于已经修好的路

cost[i][j] = cost[j][i] = 0

由于与原有的 cost[i][i] = 0 可能冲突，故用一个 bool 数组 visit 表示所有点的访问情况，访问过的即代表已经被加入到最小生成树中，这时候为了求距离和就不用再判断是否不为 -1 了，直接加上 min 即可。（加 0 等于没加）

注意事项：

此题处理距离时要用 double，另外两点间最大距离 MAXDIS 也应设为 double, 更不要把 double 和 int 比较大小，如在找与 i 最近的那个顶点 k 时，设置的 min = MAXDIS, 这里的 min 就应该用 double。
double 的输入输出

g++ 输出 double 用的是 "%.f" c++ 输出 double 用的是 "%.lf" 但是对于输入都是 "%lf"

代码如下：

version 1:

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697

////  main.cpp//  eoj2067////  Created by whyisyoung on 3/15/14.//  Copyright (c) 2014 whyisyoung. All rights reserved.//#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;const int maxn = 1002;const double MAXDIS = 10000000; // 这里写成 int 真是 WTF!!!double X[maxn], Y[maxn];double cost[maxn][maxn];double lowcost[maxn];double ans = 0;void get_all_cost(double X[], double Y[], int N){for(int i = 1; i <= N; ++i) {for(int j = 1; j <= N; ++j) {if(i == j)cost[i][j] = 0;elsecost[i][j] = sqrt((double)(X[i]-X[j])*(X[i]-X[j])+(double)(Y[i]-Y[j])*(Y[i]-Y[j]));}}}double prim(int N){ans = 0;    for(int i = 1; i <= N; ++i) {lowcost[i] = cost[1][i];}int k = 0;for(int i = 1; i < N; ++i) {double min = MAXDIS; // 这里写成 int 真是 WTF!!!for(int j = 1; j <= N; ++j) {if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {min = lowcost[j];k = j;}}if(min == MAXDIS) // 找不到新的点可以加入到树中break;if(min != -1)ans += min;        lowcost[k] = 0; // 将顶点 k 加入到最小生成树中for(int j = 1; j <= N; ++j) {if(lowcost[j] != 0 && cost[k][j] < lowcost[j]) {lowcost[j] = cost[k][j];}}}return ans;}int main(){int N, M;int x, y;while(scanf("%d%d", &N, &M) != EOF) {for(int i = 1; i <= N; ++i) {scanf("%lf%lf", &X[i], &Y[i]);}get_all_cost(X, Y, N);for(int i = 0; i < M; ++i) {scanf("%d%d", &x, &y);cost[x][y] = -1;cost[y][x] = -1;}ans = prim(N);printf("%.2lf\n", ans);}return 0;}

version 2:

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

////  main.cpp//  eoj2067////  Created by whyisyoung on 3/15/14.//  Copyright (c) 2014 whyisyoung. All rights reserved.//#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;const int maxn = 1002;const double MAXDIS = 10000000;double X[maxn], Y[maxn];bool visit[maxn]; //记录某点是否访问过，即是否已加入到最小生成树中double cost[maxn][maxn];double lowcost[maxn];double ans = 0;void get_all_cost(double X[], double Y[], int N){for(int i = 1; i <= N; ++i) {for(int j = 1; j <= N; ++j) {if(i == j)cost[i][j] = 0;elsecost[i][j] = sqrt((double)(X[i]-X[j])*(X[i]-X[j])+(double)(Y[i]-Y[j])*(Y[i]-Y[j]));}}}double prim(int N){ans = 0;    for(int i = 1; i <= N; ++i) {lowcost[i] = cost[1][i];}visit[1] = 1;int k = 0;for(int i = 1; i < N; ++i) {double min = MAXDIS;for(int j = 1; j <= N; ++j) {if(!visit[j] && lowcost[j] < min) {min = lowcost[j];k = j;}}if(min == MAXDIS) // 找不到新的点可以加入到树中break;visit[k] = 1; // k 已被访问过ans += min;for(int j = 1; j <= N; ++j) {if(!visit[j] && cost[k][j] < lowcost[j]) {lowcost[j] = cost[k][j];}}}return ans;}int main(){int N, M;int x, y;while(scanf("%d%d", &N, &M) != EOF) {memset(visit, 0, sizeof(visit));for(int i = 1; i <= N; ++i) {scanf("%lf%lf", &X[i], &Y[i]);}get_all_cost(X, Y, N);for(int i = 0; i < M; ++i) {scanf("%d%d", &x, &y);cost[x][y] = 0;cost[y][x] = 0;}ans = prim(N);printf("%.2lf\n", ans);}return 0;}

1 0