LIS DP

来源：互联网发布：淘宝店家推荐编辑：程序博客网时间：2024/06/03 20:16

LIS问题即 longest inceeasing Subsequence,最长上升子序列。解这个问题依旧是可以用DP的思想来解答，这个问题的解答在网上已经有很多，所以这里也不打算怎么详细说，下面是代码O(n^2)的算法，是用来AC上面ZOJ的题目的

#include <iostream>  
using namespace std;  
  
//f[i]存储的是从A[1...i]的最长不下降子序列长度  
int a[1001],f[1001];  
  
int LIS_Length(int n)  
{  
    f[0]=0;  
    f[1]=1;  
    int maxn,i,j;  
    for(i=2;i<=n;i++)  
    {  
        maxn=0;  
        for(j=1;j<i;j++)  
        {  
            if( (f[j]>maxn) && (a[j]<a[i]) )  
                maxn=f[j];  
        }  
        f[i]=maxn+1;  
    }  
    maxn=1;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
        if(f[i]>maxn)  
            maxn=f[i];  
    }  
    return maxn;  
}  
  
int main()  
{  
    int n,ni,len;  
    cin>>n;  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
        cin>>ni;  
        if(ni == 0)  
            continue;  
        for(int j=1;j<=ni;j++)  
            cin>>a[j];  
        len=LIS_Length(ni);  
        cout<<len<<endl;  
        if(i != n)  //输出格式要求  
            cout<<endl;  
    }  
    return 0;  
}  

下面是一道HDOJ上面的问题HDOJ1257最少拦截系统

这道题目用LIS来做的话，需要转化下思维，题目给了我们炮弹高度的一个序列，然后要求我们给出最少需要的拦截系统，拦截系统每次新打出的拦截导弹的高度都比前一个要低。

我们想啊，求出这些来袭导弹的LIS长度后，到底有什么用呢，比如求出的LIS长度是3，就是说在这些导弹中，最长有三个导弹是递增高度的，当然来的顺序也是要递增的。那么剩下的就是有不超过3个导弹高度是递增的咯，这时候，我们至少需要第三台拦截系统呢？

答案是三台，为什么呢？

其中第一台就发出去打第一个导弹，如果第二个导弹比第一个导弹高度低，那么就依旧是第一台打，一直到出现比第一台拦截系统打的前一个导弹高度高的导弹，这时候，第一台的导弹打不了，就只能用第二台的去打，然后第二台也是如此，出现比它现在刚打下的导弹低的就它打，出现比它刚打下的高的，就直接给第三台打，由于它的LIS长度是3，所以剩下的导弹，不会出现比现在这颗高度再高的了。

//HDOJ1257  
#include <iostream>  
using namespace std;  
  
//f[i]存储的是从A[1...i]的最长不下降子序列长度  
int a[1001],f[1001];  
  
int LIS_Length(int n)  
{  
    f[0]=0;  
    f[1]=1;  
    int maxn;  
    for(int i=2;i<=n;i++)  
    {  
        maxn=0;  
        for(int j=1;j<i;j++)  
        {  
            if( (f[j]>maxn) && (a[j]<a[i]) )  
                maxn=f[j];  
        }  
        f[i]=maxn+1;  
    }  
    maxn=1;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
        if(f[i]>maxn)  
            maxn=f[i];  
    }  
    return maxn;  
}  
  
int main()  
{  
    int n;  
    while(cin>>n)  
    {  
        if(n == 0)  
            continue;  
        for(int i=1;i<=n;i++)  
            cin>>a[i];  
        int len=LIS_Length(n);  
        cout<<len<<endl;  
    }  
    return 0;  
}  

下面也是一道可以用LIS来解的题目 HDOJ1025

不过这道题目的数据量很大，达到了500000，所以我在用上面的O(n^2)的算法时，提交的时候会出现TLE，超时。这个时候就需要用到下面的这个O(nlogn)的算法来解了。

这个算法的思想是，使用一个数组D[],其中D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)，也就是D[k]是所有LIS长度为K的子序列中，结尾元素最小的那个，至于为什么是选择最小的那个，这个大家自己想下就知道咯。由于数组d[]是递增的，所以在查找的时候，可以用二分查找，这也是为什么它的效率是O(nlogn)的原因。

下面是代码，还要注意一下输出的格式，我在那里WA了几次，才看清。

//HDOJ1025  
#include <iostream>  
using namespace std;  
  
//D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)  
  
int d[500001],a[500001];  
  
int Binary_Search(int ai,int len)  
{  
    int _left=1,_right=len,mid;  
    while(_left<_right)  
    {  
        mid=(_left+_right)/2;  
        if(ai > d[mid])  
            _left=mid+1;  
        else  
            _right=mid-1;  
    }  
    return _left;  
}  
  
int LIS_Length(int n)  
{  
    d[1]=a[1];  
    int len=1;  
    for(int i=2;i<=n;i++)  
    {  
        if(a[i] < d[1])  
            d[1]=a[i];  
        else if(a[i] > d[len])  
        {  
            len++;  
            d[len]=a[i];  
        }  
        else  
        {  
            int j=Binary_Search(a[i],len);  
            if(a[i] > d[j])  
                d[j+1]=a[i];  
            else  
                d[j]=a[i];  
        }  
    }  
    return len;  
}  
  
int main()  
{  
    int n,x,y,len,num=0;  
    while(cin>>n)  
    {  
        num++;  
        for(int i=1;i<=n;i++)  
        {  
            cin>>x>>y;  
            a[x]=y;  
        }  
        len=LIS_Length(n);  
        cout<<"Case "<<num<<":"<<endl;  
        cout<<"My king, at most "<<len<<" road";  
        if(len > 1)  
            cout<<'s';  
        cout<<" can be built."<<endl;  
        cout<<endl;  
    }  
    return 0;  
}  
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