数据拟合

      来源于单片机编程的一些想法。主要适用于：（1）将比较复杂的公式简化为多项式的形式（泰勒展开思想），在CPU运算能力比较低时节省运算时间。（2）在已知某些数据点，求解这些点满足的函数，从而计算其他点。

1.从已知点得到函数关系

       通俗的来讲，数据拟合就是将收集的数据整合，发现他们的规律，然后用函数来表示。这样的函数可以作下一个数据出现位置的预判。比如采集到一组数据：

      

输入x

-9.7

-8.5

-6.1

-7.3

6.5

3.5

2.3

-2.8

8.3

5.9

输出y

94.09

72.25

37.21

53.29

42.25

12.25

5.29

7.84

68.89

34.81

   

       通过这些采集的数据规律，假设再给定一个输入，能否推测输出是多少？在未知输入和输出函数关系的情况下是很难预测出来的（这组数据比较简单，可能比较容易看出来之间的关系，但是复杂的就难得看出了）。

将上述数据在平面坐标系中画出来：

Matlab命令：

>>x=[-9.7,-8.5,-6.1,-7.3,6.5,3.5,2.3,-2.8,8.3,5.9];

>> y=[94.09 72.2537.21 53.29 42.25 12.25 5.29 7.84 68.89 34.81];

>>plot(x,y,'.');

使用matlab自带的数据拟合工具。

 

试着选择线性拟合，采用二阶的试试。得到结果：

y =  p1 * x^2  +  p2*x  +  p3 （p1 p2 p3为系数）

Coefficients:

  p1 = 1

  p2 = 3.3706e-016

  p3 = 8.496e-015

Norm of residuals=

     3.7472e-014

拟合图像为：

数据点基本上都在函数上，说明这个拟合还是很适合的。

 

2. 将复杂函数简单化

       11年全国大学电子设计竞赛B题自由摆的有个倾角传感器测的角度和执行部件该转动的角度，他们的关系通过三角函数计算得到：

       然而，电脑算这个公式当然是没有问题的，但是在单片机里面就存在问题了。也不是说是问题，因为计算式子比较麻烦，所以占用时间比较长。但是这个系统实时性要求特别高。所以将这个式子弄成比较简单的式子（比如二阶的，或者3阶的）是很有意义的。

先把函数图像画出来：

 >> th=-pi/4:0.001:pi/4;
>> beta = atan((1-cos(th))./(1.5-sin(th)));
>> plot(th,beta);
>> grid on

打开拟合工具，二阶拟合的结果：

偏差还是有些大的，那就试试三阶：

这个结果已经非常接近了，得到的式子就是：

y = p1*x^3 + p2*x^2 +p3*x + p4

Coefficients:

  p1= 0.23114

  p2= 0.38838

  p3= -0.00010563

  p4= -0.003147

Norm of residuals =

    0.1019