【算法导论】【第三章】掌握渐进符号O和Ω

本篇文章基于麻省理工学院的公开课第二讲。

首先从纯数学的角度上来理解。

exam1：

f(n)=O(g(n)),代表存在常数c和n0，使得n>=n0时，满足0<=f(n)<=c*g(n)。

比如2*n^2=O(n^3)，这里n^2代表n的平方，n^3代表n的三次方，用过matlab的应该很好理解。

这里套用O的定义可知，即存在常数c=1和n0=2，使得n>=n0=2时，满足0<=2*n^2<=n^3。

这个例子应该很好理解。O可以理解成小于等于。

但实际上的意义是f(n)属于g(n)构成的函数集，不过我们可以用等号来表示。

exam2：

f(n)=n^3+O(n^2),代表存在h(n)属于O(n^2)，使得f(n)=n^3+h(n).

也就是f(n)的主要部分是n^3，但还包括了低阶项O(n^2)。

exam3：

n^2+O(n)=O(n^2)，代表对于任意的f(n)属于O(n^2)，都存在h(n)属于O(n^2)，使得n^2+f(n)=h(n)。

由以上三个例子我们可以看出，O很好的表示了上界，可以理解成小于等于。

我们还需要符号来表示下界，那就是Ω

exam1:

Ω(g(n))=f(n)，从定义上来看，存在常数c>0,n0>0,使得当n>=n0时，满足0<=c*g(n)<=f(n).

exam2：

n^0.5=Ω(lgn)，这里n^0.5代表n的平方根，lgn代表log2(n),即以2为底。

根据定义，我们可以理解成：对于足够大的n，n^0.5至少是lg(n)的常数倍。

Ω基本上对应于大于等于。

综上，O和Ω很好的表示了上界和下界。O对应于小于等于，Ω对应于大于等于。