算法导论笔记：03渐进符号

1：Θ记号：

        对一个给定的函数g(n)，用Θ(g(n))来表示以下函数的集合：

Θ(g(n))={f(n)：存在正常量c1、c2 和 n0，使得对所有n≥n0，有0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n)}

        称g(n)是f(n)的一个渐近紧确界（asymptotically tight bound）。

 

2：O符号

        当只有一个渐近上界时，使用O记号。对于给定的函数g(n)，用O(g(n))示以下函数的集合：
O(g(n))={f(n)：存在正常量c和n0，使得对所有n≥n0，有0≤f(n)≤cg(n)}

        当我们说“运行时间为O(n^2)”时，意指存在一个O(n^2)的函数f(n)，使得对n的任意值，不管选择什么特定的规模为n的输入，其运行时间的上界都是f(n)。这也就是说最坏情况运行时间为O(n^2)。

 

3：Ω记号

        Ω记号提供了渐近下界。对于给定的函数g(n)，用Ω(g(n))来表示以下函数的集合：

Ω(g(n))={f(n)：存在正常量c和n0，使得对所有n≥n0，有0≤cg(n)≤f(n)}

        当称一个算法的运行时间（无修饰语）为Ω(g(n))时，我们意指对每个n值，不管选择什么特定的规模为n的输入，只要n足够大，对那个输入的运行时间至少是g(n)的常量倍。等价地，我们再对一个算法的最好情况运行时间给出一个下界。例如，插入排序的最好情况运行时间为Ω(n)，这蕴涵着插入排序的运行时间为Ω(n)。

4：o记号

        由O记号提供的渐近上界可能是也可能不是渐近紧确的。界2n^2=O(n^2)是渐近紧确的，但是界2n=O(n^2)却不是。我们使用o记号来表示一个非渐近紧确的上界。形式化地定义o(g(n))为以下集合：
o(g(n))={f(n)：对任意正常量c>0，存在常量n0>0，使得对所有n≥n0，有0≤f(n)<cg(n)}。

5：ω记号

        ω记号与Ω记号的关系类似于o记号与O记号的关系。我们使用ω记号来表示一个非渐近紧确的下界。定义它的一种方式是：f(n)∈ω(g(n))当且仅当g(n)∈o(f(n))

        然而，我们形式化地定义ω(g(n)):为以下集合：

ω(g(n))={f(n)：对任意正常量c>0，存在常量n0>0，使得对所有n≥n0，有0≤cg(n)＜f(n)}

6：一般来说，对任意多项式p(n)=，其中为常量且＞0，我们有p(n)=Θ(n^d)。