HDU 2879 HeHe(经典积性函数)

来源：互联网发布：淘宝网文胸故事模特编辑：程序博客网时间：2024/04/29 22:52

原题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2879

积性函数解释:http://blog.csdn.net/yjx_xx/article/details/25558119

HeHe

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/65535 K (Java/Others)
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Problem Description

In the equation X^2≡X(mod N) where x∈[0,N-1], we define He[N] as the number of solutions.
And furthermore, define HeHe[N]=He[1]*……*He[N]
Now here is the problem, write a program, output HeHe[N] modulo M for a given pair N, M.

Input

First line: an integer t, representing t test cases.
Each test case contains two numbers N (1<=N<=10^7) and M (0<M<=10^9) separated by a space.

Output

For each test case, output one line, including one integer: HeHe[N] mod m.

Sample Input

12 3

Sample Output

题意解析（来自http://blog.csdn.net/kksleric/article/details/8096914）：

1.证明p是素数时He[p]=2.

x^2=x(mod p)—->p|x(x-1).因为x<p所以p不整除x也不整除x-1.所以成立的情况下是x=1或者x=0.

He[p^k]=2,证明类似上面的

2.证明对于不同的两个素数p和q,He[p*q]=4=He[p]*He[q];

首先x=0和x=1是肯定成立的,

现在由x^2=x(mod p*q)

—>p*q|x(x-1)

假设x=k*p[k<q]

——>p*q|k*p(k*p-1)

——->q|k(k*p-1)

——->q|(k*p-1) 因为k<q q是素数所以gcd(k,q)=1

——->k*p+t*q=1

这里就变成了这个方程的解,由扩展欧几里得知,这个方程有解,但是k在[0,q-1]之内的解就一个,所以这里多一个解,同理设x=k*p又有一个解,所以x^2=x(mod p*q)有4个解(x=0 ,x=1 ,x=k*p, x=k*q)

—->He[p*q]=4=He[p]*He[q];

那么He[p1^r1*p2^r2*……*pk^rk]=2^k然后可以进一步算出HeHe只需要算n以内每个素数的倍数的个数.

AC代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>#define LL __int64#define max 10000001int prime[max];void getprime(){LL i,j;memset(prime,0,sizeof(prime));for(i=2;i<max;i++){if(!prime[i]){for(j=i;j<max;j+=i)prime[j]++;//这素数的倍数个数}}for(i=2;i<max;i++)prime[i]+=prime[i-1];//算素数之间的数与这个数之前的素数的个数一样}LL qp(LL n,LL m){LL a=2,ans=1;//算2的总的素数个数的幂while(n){if(n&1)ans*=a;n>>=1;a*=a;a%=m;ans%=m;}return ans%m;}int main(){getprime();int t;LL n,m,i;scanf("%I64d",&t);while(t--){scanf("%I64d%I64d",&n,&m);printf("%I64d\n",qp(prime[n],m));}return 0;}

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