hdu 2879 HeHe (数论:积性函数+欧拉定理+快速幂)

这个题是接触积性函数的第一题,完全不会做

感觉题目强的变态...

对积性函数不了解的同学可以百度下,主要参考的是它的性质以及哪几个常见的函数是积性函数

常见的有:

欧拉函数  -  f(n) = n*(1-1/p1)*(1-1/p2)* ... *(1-1/pk)//pi为素数

d(n) －n的正因子数目

σ(n) －n的所有正因子之和

下面是摘自别人的题解,感觉还是读得不太懂

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1.证明p是素数时He[p] = 2.     

 x^2=x(mod p) —> p | x*(x-1).

因为x<p, 所以p不整除x也不整除x-1.

所以成立的情况下是x=1或者x=0.

He[p^k]=2,证明:

x^2 = x(mod p^k) -----> p^k | x*(x-1)

因为x<p^k, 所以当x不是p的倍数时,必然有gcd(p^k, x*(x-1)) == 1

而当x是p的倍数是,两侧同时除以gcd(p^k, x),又得到上面的形式(对x-1同理)

所以He[p^k] = 2

2.证明对于不同的两个素数p和q,He[p*q]=4=He[p]*He[q];

首先x=0和x=1是肯定成立的,

现在由x^2=x(mod p*q) —> p*q | x(x-1)

假设x=k*p[k<q]

——>p*q | k*p(k*p-1)

——>q | k*(k*p-1)

——>q | (k*p-1)  因为k<q  q是素数 所以gcd(k,q)=1

——>k*p+t*q=1

这里就变成了这个方程的解,由扩展欧几里得知,这个方程有解

但是k在[0,q-1]之内的解就一个,所以这里多一个解,同理设x=k*p又有一个解

所以x^2=x(mod p*q)有4个解(x=0 ,x=1 ,x=k*p, x=k*q)

—>He[p*q]=4=He[p]*He[q];

那么He[p1^r1*p2^r2*……*pk^rk]=2^k

然后可以证明HeHe只需要算n以内每个素数的倍数的个数.

举个例子:

计算HeHe[6] = He[1]*He[2]*He[3]*He[4]*He[5]*He[6]

He[1] =  2^0 

He[2] =  2^1 

He[3] =  2^1

He[4] =  2^1 = He[2*2] = He[2]

He[5] =  2^1

He[6] =  2^2 = He[2*3] = He[2] * He[3]

故He[6] = He[2]^3*He[3]^2*He[5]

题目代码如下:

#include <cstdio>#include <iostream>#define N 10000005#define LL long longusing namespace std;int prime[N], cnt;bool vis[N];void gen_primes() {    int i, j;    cnt = 0;    for(i=2; i<=N; ++i) {        if(!vis[i]) {            prime[cnt++] = i;            for(j=i+i; j<N; j+=i)                vis[j] = 1;        }    }}LL Pow(LL a, LL b, LL c) {    LL ans = 1;    while(b) {        if(b & 1)             ans = ans*a%c;        a = a*a%c;        b >>= 1;    }    return ans;}int main(void) {    int T, n, m, i, j;     LL ans;    gen_primes();    scanf("%d", &T);    while(T--) {        scanf("%d%d", &n, &m);        ans = 0;        for(i=0; i<cnt; ++i) {            if(prime[i] > n)                break;            ans += n/prime[i];        }        cout << Pow(2, ans, m) << endl;    }    return 0;}