树状数组

树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。

基本概念：

假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察这个图：

树状数组的结构图

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：

我们来看一下这个规律，

C1(0001)末尾二进制0的个数是0，并且C1管辖的范围是C1=A1；

C2(0010)末尾二进制0的个数是1，并且C2管辖的范围是C2=A1+A2；

C3(0011)末尾二进制0的个数是0，并且C3管辖的范围是C3=A3；

......

C8(1000)末尾二进制0的个数是3，并且C2管辖的范围是C8=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8；

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

基本操作：

1,对于C[i]=a[i - 2^k + 1]...a[i]的定义中，比较难以逐磨的k，他的值等于i这个数的二进制表示末尾0的个数.        如4的二进制表示0100,此时k就等于2，而实际上我们还会发现2^k就是前一位的权值,即0100中,2^2=4，刚好        是前一位数1的权值.所以所以2^k可以表示为n&(n^(n-1))或更简单的n&(-n)，例如：

 为了表示简便，假设现在一个int型为4位,最高位为符号位

int i=3&(-3);     此时i=1，3的二进制为0011,-3的二进制为1101(负数存的是补码）所以0011&1101=1

int j=4&(-4);    此时j=4，理由同上.....

所以计算2^k我们可以用如下代码：

int low(int i){    return i&(-i);}

2,求和操作

在上面的示意图中，若我们需要求sum[1..7]个元素的和，仅需要计算c[7]+c[6]+c[4]的和即可，究竟时间复杂度怎么算呢？一共要进行多少次求和操作呢？

求sum[1..k],我们需查找k的二进制表示中1的个数次就能得到最终结果，所以时间复杂度为log(n)。

int sum(int i){    int s=0;    while(i>0){        s+=num[i];        i-=low(i);    }    return s;}  

i-=lowbit(i);这一项实际上等价于将当前二进制串中的最后一个1减去，因为数的二进制串中1的个数最多有log(n)个，所以它的时间复杂度为log(n);

以求sum[1..7]为例,二进制为0111,右边第一个1出现在第0位上,也就是说要从a[7]开始向前数1个元素(只有a[7]),即c[7];

然后将这个1舍掉,得到6,二进制表示为0110,右边第一个1出现在第1位上,也就是说要从a[6]开始向前数2个元素(a[6],a[5]),即c[6];

然后舍掉用过的1,得到4,二进制表示为0100,右边第一个1出现在第2位上,也就是说要从a[4]开始向前数4个元素(a[4],a[3],a[2],a[1]),即c[4].

所以s[7]=c[7]+c[6]+c[4];

3,更新操作

在上面的示意图中，假设更改的元素是a[2],那么它影响到得c数组中的元素有c[2],c[4],c[8]，我们只需一层一层往上修改就可以了,这个过程的最坏的复杂度也不过O(logN);

void update(int i){    while(i<=n){        num[i]++;        i+=low(i);     }}

n+=lowbit(n);这一项实际上等价于在二进制串中补0；

以修改a[2]元素为例，需要修改c[2],2的二进制为0010,末尾补0为0100,即c[4]

4的二进制为0100，在末尾补0为1000即c[8]。所以我们需要修改的有c[2],c[4],c[8]