求gcd(1,n)+...+gcd(n,n)的和f(n)

首先我们很容易知道 当p是质数的时候 ， f(p)=2*p-1，因为1到p-1都与p互质，而p和它本身的最大公约数是p。

我们知道任何数可以转化成质数的幂的乘积。

那么我们首先求只有一种质数的情况:f（p^k）。

考虑f（p^2）=2*p^2-1 + p*(p-1) -(p-1) :   先假设所有小于的p^2的数都与它互质，那么结果是2*p^2-1，而其实有p-1个数是p的倍数 并且他们 与 p^2的最大公约数是p，然后最后再减去第一部分多加的p-1个1。最后 f（p^2）= p*（3p-2）

考虑f（p^3）=2*p^3-1 + p*(p^2-p)+p^2*(p-1) -(p^2-1) :   先假设所有小于的p^3的数都与它互质，那么结果是2*p^3-1，而其实有p^2-p个数是p的倍数(不包括是p^2倍数的)，并且他们 与 p^3的最大公约数是p；还有p-1个数是p^2的倍数(不包括p^3倍数的，也就是不包括它自己) 并且他们 与 p^3的最大公约数是p^2，然后最后再减去第一部分多加的p^2-1个1。最后 f（p^3）= p*（4p-3）

....

同理，我们得到f（p^k）=p*( (k+1)*p-  k).

那么如果有多种质数的乘积呢？

考虑最简单的情况，f（p*q） ，p、q都是质数

根据上面的想法，同理得 f（p*q）=2*(p*q)-1 + p*(q-1)+q*(p-1) - (p-1+q-1) = (2p-1)(2q-1)=f(p)*f(q)。

由此，我们大胆假设，幂大于1的时候，也适用同样的公式，在此就不多加证明了。

现在如何求解已经显而易见了。