贪心算法之活动安排问题

问题表述：设有n个活动的集合E = {1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si < fi 。如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si >= fj或sj >= fi时，活动i与活动j相容。

由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。

算法greedySelector的效率极高。当输入的活动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn)的时间重排。

例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时间的非减序排列如下：

算法greedySelector 的计算过程如下图所示。图中每行相应于算法的一次迭代。阴影长条表示的活动是已选入集合A的活动，而空白长条表示的活动是当前正在检查相容性的活动。

若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集合A中。 

贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。

活动安排问题实现：

#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std ;struct ActivityTime{public:    ActivityTime (int nStart, int nEnd)         : m_nStart (nStart), m_nEnd (nEnd)     { }    ActivityTime ()        : m_nStart (0), m_nEnd (0)    { }    friend     bool operator < (const ActivityTime& lth, const ActivityTime& rth)     {        return lth.m_nEnd < lth.m_nEnd ;    }public:    int m_nStart ;    int m_nEnd ;} ;class ActivityArrange {public:    ActivityArrange (const vector<ActivityTime>& vTimeList)     {        m_vTimeList = vTimeList ;        m_nCount = vTimeList.size () ;        m_bvSelectFlag.resize (m_nCount, false) ;    }    // 活动安排    void greedySelector ()     {        __sortTime () ;        // 第一个活动一定入内        m_bvSelectFlag[0] = true ;            int j = 0 ;        for (int i = 1; i < m_nCount ; ++ i) {            if (m_vTimeList[i].m_nStart > m_vTimeList[j].m_nEnd) {                m_bvSelectFlag[i] = true ;                j = i ;            }        }                copy (m_bvSelectFlag.begin(), m_bvSelectFlag.end() ,ostream_iterator<bool> (cout, " "));        cout << endl ;    }private:    // 按照活动结束时间非递减排序    void __sortTime ()     {        sort (m_vTimeList.begin(), m_vTimeList.end()) ;        for (vector<ActivityTime>::iterator ite = m_vTimeList.begin() ;                ite != m_vTimeList.end() ;                 ++ ite) {            cout << ite->m_nStart << ", "<< ite ->m_nEnd << endl ;        }    }private:    vector<ActivityTime>    m_vTimeList ;    // 活动时间安排列表    vector<bool>            m_bvSelectFlag ;// 是否安排活动标志    int    m_nCount ;    // 总活动个数} ;int main(){    vector<ActivityTime> vActiTimeList ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(1, 4)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(3, 5)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(0, 6)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(5, 7)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(3, 8)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(5, 9)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(6, 10)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(8, 11)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(8, 12)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(2, 13)) ;    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(12, 14)) ;    ActivityArrange aa (vActiTimeList) ;    aa.greedySelector () ;    return 0 ;}