线性规划与网络流24题之最小路径覆盖问题

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=481

description

    给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。提示：设V={1，2，...; ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：每条边的容量均为1。求网络G1的（x0 , y0 ）最大流。对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。

input

多组数据输入.每组输入第1 行有2个正整数n<=200和m。n是给定有向无环图G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。

output

每组输出最少路径数。

sample_input

11 121 21 31 42 53 64 75 86 97 108 119 1110 11

sample_output

3

选自线性规划和网络流24题。

 分析（引用BYvoid大牛的分析）

有向无环图最小路径覆盖，可以转化成二分图的最大匹配问题，从而用最大流解决。

建模方法：

构造二分图，把原图每个顶点i拆分成二分图x和y集合中的两个顶点，xi和yi，对于原图中存在的每条边(i,j)，在二分图
中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型，求网络最大流。
最小路径覆盖的条数，就是原图顶点数，减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找，就是一个路径上的点，输出所有路径即可。
建模分析:
对于一个路径覆盖，有如下性质：
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。
所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都
对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路
径数=顶点数- 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。
注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径覆盖

代码：最大流模板来自黄大神

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>using namespace std;//--------------------------------------------------------//--------------------------------------------------------//最大流模板const int oo=1e9;const int mm=161111;const int mn=999;int node ,scr,dest,edge;int ver[mm],flow[mm],next[mm];int head[mm],work[mm],dis[mm],q[mm];void prepare(int _node,int _scr,int _dest){    node=_node,scr=_scr,dest=_dest;    for(int i=0; i<node; ++i)        head[i]=-1;    edge=0;}void addedge(int u,int v,int c){    ver[edge]=v,flow[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;    ver[edge]=u,flow[edge]=0,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;}bool Dinic_bfs(){    int i,u,v,l,r=0;    for(i=0; i<node; i++)        dis[i]=-1;    dis[q[r++]=scr]=0;    for(l=0; l<r; ++l)    {        for(i=head[u=q[l]]; i>=0; i=next[i])        {            if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0)            {                dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;                if(v==dest)                    return 1;            }        }    }    return 0;}int Dinic_dfs(int u,int exp){    if(u==dest)        return exp;    for(int &i=work[u],v,tmp; i>=0; i=next[i])        if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0)        {            flow[i]-=tmp;            flow[i^1]=tmp;            return tmp;        }    return 0;}int Dinic_flow(){    int i,ret=0,delta;    while(Dinic_bfs())    {        for(i=0; i<node; i++)            work[i]=head[i];        while(delta=Dinic_dfs(scr,oo))            ret+=delta;    }    return ret;}//----------------------------------------------------------//----------------------------------------------------------int main(){    int n,m,u,v,c;    int flag[mm];    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        memset(flag,0,sizeof(flag));        prepare(n+m+2,0,n+m+1);        for(int i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d%d",&u,&v);            if(flag[u]==0)//每个点只能和源点建一次边，汇点也如此            {               addedge(scr,u,1);               flag[u]=1;            }            addedge(u,v+n,1);            if(flag[v+n]==0)            {                flag[v+n]=1;                addedge(v+n,dest,1);            }        }        printf("%d\n",n-Dinic_flow());    }    return 0;}