线性规划与网络流24题之最长k可重区间集问题最大权不相交路径（最大费用最大流）

来源：互联网发布：淘宝直播obs 串流码编辑：程序博客网时间：2024/05/19 03:43

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=495

description

    给定实直线L 上n 个开区间组成的集合I，和一个正整数k，试设计一个算法，从开区间集合I 中选取出开区间集合S属于I，使得在实直线L 的任何一点x，S 中包含点x 的开区间个数不超过k，且 达到最大。这样的集合S称为开区间集合I的最长k可重区间集。称为最长k可重区间集的长度。    对于给定的开区间集合I和正整数k，计算开区间集合I的最长k可重区间集的长度。

input

多组数据输入.每组输入第1 行有2 个正整数n和k，分别表示开区间的个数和开区间的可重迭数。接下来的n行，每行有2个整数，表示开区间的左右端点坐标。

output

每组输出最长k可重区间集的长度

sample_input

4 21 76 87 109 13

sample_output

【问题分析】

最大权不相交路径问题，可以用最大费用最大流解决。

【建模方法】
方法1
按左端点排序所有区间，把每个区间拆分看做两个顶点<i.a><i.b>，建立附加源S汇T，以及附加顶点S'。
1、连接S到S'一条容量为K，费用为0的有向边。
2、从S'到每个<i.a>连接一条容量为1，费用为0的有向边。
3、从每个<i.b>到T连接一条容量为1，费用为0的有向边。
4、从每个顶点<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为区间长度的有向边。
5、对于每个区间i，与它右边的不相交的所有区间j各连一条容量为1，费用为0的有向边。
求最大费用最大流，最大费用流值就是最长k可重区间集的长度。
方法2
离散化所有区间的端点，把每个端点看做一个顶点，建立附加源S汇T。
1、从S到顶点1（最左边顶点）连接一条容量为K，费用为0的有向边。
2、从顶点2N（最右边顶点）到T连接一条容量为K，费用为0的有向边。
3、从顶点i到顶点i+1(i+1<=2N)，连接一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
4、对于每个区间[a,b]，从a对应的顶点i到b对应的顶点j连接一条容量为1，费用为区间长度的有向边。
求最大费用最大流，最大费用流值就是最长k可重区间集的长度。
【建模分析】
这个问题可以看做是求K条权之和最大的不想交路径，每条路径为一些不相交的区间序列。由于是最大费用流，两条路径之间一定有一些区间相交，可以看做事相交部分重复了2次，
而K条路经就是最多重复了K次。最简单的想法就是把区间排序后，不相交的区间之间连接一条边，由于每个区间只能用一次，所以要拆点，点内限制流量。如果我们改变一下思路，
把端点作为网络中的顶点，区间恰恰是特定一些端点之间的边，这样建模的复杂度更小。方法1的边数是O(N^2)的，而方法2的边数是O(N)的，可以解决更大规模的问题。
方法一：

5983020134321495Accepted1340k10msC++ (g++ 3.4.3)31672014-06-21 11:33:44

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;const int oo=1e9;//无穷大const int maxm=1111111;//边的最大数量，为原图的两倍const int maxn=2222;//点的最大数量int node,src,dest,edge;//node节点数，src源点，dest汇点，edge边数int head[maxn],p[maxn],dis[maxn],q[maxn],vis[maxn];//head链表头，p记录可行流上节点对应的反向边，dis计算距离struct edgenode{    int to;//边的指向    int flow;//边的容量    int cost;//边的费用    int next;//链表的下一条边} edges[maxm];void prepare(int _node,int _src,int _dest);void addedge(int u,int v,int f,int c);bool spfa();inline int min(int a,int b){    return a<b?a:b;}inline void prepare(int _node,int _src,int _dest){    node=_node;    src=_src;    dest=_dest;    for (int i=0; i<node; i++)    {        head[i]=-1;        vis[i]=false;    }    edge=0;}void addedge(int u,int v,int f,int c){    edges[edge].flow=f;    edges[edge].cost=c;    edges[edge].to=v;    edges[edge].next=head[u];    head[u]=edge++;    edges[edge].flow=0;    edges[edge].cost=-c;    edges[edge].to=u;    edges[edge].next=head[v];    head[v]=edge++;}bool spfa(){    int i,u,v,l,r=0,tmp;    for (i=0; i<node; i++) dis[i]=oo;    dis[q[r++]=src]=0;    p[src]=p[dest]=-1;    for (l=0; l!=r; ((++l>=maxn)?l=0:1))    {        for (i=head[u=q[l]],vis[u]=false; i!=-1; i=edges[i].next)        {            if (edges[i].flow&&dis[v=edges[i].to]>(tmp=dis[u]+edges[i].cost))            {                dis[v]=tmp;                p[v]=i^1;                if (vis[v]) continue;                vis[q[r++]=v]=true;                if (r>=maxn) r=0;            }        }    }    return p[dest]>=0;}int spfaflow(){    int i,ret=0,delta;    while (spfa())    {        //按记录原路返回求流量        for (i=p[dest],delta=oo; i>=0; i=p[edges[i].to])        {            delta=min(delta,edges[i^1].flow);        }        for (int i=p[dest]; i>=0; i=p[edges[i].to])        {            edges[i].flow+=delta;            edges[i^1].flow-=delta;        }        ret+=delta*dis[dest];    }    return ret;}struct note{    int x,y,w;};note a[maxn];bool cmp(note aa,note bb){    if(aa.x==bb.x)        return aa.y<bb.y;    return aa.x<bb.x;}int main(){    int n,k;    while(~scanf("%d%d",&n,&k))    {        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);            a[i].w=a[i].y-a[i].x;        }        sort(a+1,a+n+1,cmp);        prepare(n*2+3,0,n*2+2);        addedge(src,1,k,0);        for(int i=1;i<=n;i++)        {            addedge(1,i+1,1,0);            addedge(i+n+1,dest,1,0);            addedge(i+1,i+n+1,1,-a[i].w);        }         for(int i=1;i<=n;++i)            for(int j=n;j>i;--j)                if(a[i].y<=a[j].x)                    addedge(i+1+n,j+1,1,0);                else                    break;        printf("%d\n",-spfaflow());    }    return 0;}

方法二：