uva 10061 How many zero's and how many digits ?（不同进制阶乘末尾几个0）+poj 1401

题意是求在base进制下的 n！的结果有几位数，末尾有几个0。

想起刚开始的时候做的一道10进制下的n阶乘末尾有几个零，以及之前有做过的一道n阶乘的位数。

当时都是在10进制下的。

10进制下的做法是：

1. n阶位数：直接 lg（n！）就是得数的位数。

2. n阶末尾0的个数：由于2 * 5 将会在得数中以0的形式存在，所以计算2或者计算5，由于因子中出现5必然出现2，所以直接一趟遍历，找出能整除5的数就行了，5的个数就是末尾0的个数。

推广到base进制下：

1. n阶的位数：log base （n！），换底公式，可以换成 lg（n！） /  lg（base）。

2.n阶末尾0的个数：在n！中找可以凑成base的因子，比如16，可以找1， 16或者2,8或者4,4。

具体做法是n！里面的每一个数都分解成因子相乘的形式，并记录下来，然后到base中去凑，若能凑成，阶乘末尾就多一个0。

代码：

#include <stdio.h>#include <math.h>#include <string.h>int n, base;int a[1000];//记录n中小于等于base的因子数int ZeroNum(){    memset(a, 0, sizeof(a));    //将n!中的所有数拆分出因子，并记录下来该因子（j）对应有多少个    for (int i = 2; i <= n; i++)    {        int tmp = i;        for (int j = 2; j <= tmp && j <= base; j++)        {            while (tmp % j == 0)            {                a[j]++;                tmp /= j;            }        }    }    //将拆分出的因子枚举，若其能拼凑成一组base，则出现一个0。    int res = 0;    while (1)    {        int tmp =  base;        for (int i = 2; i <= tmp; i++)        {            while (tmp % i == 0 && a[i] > 0)            {                a[i]--;                tmp /= i;            }        }        if (tmp == 1)            res++;        else            break;    }    return res;}int DigitNum(){    double sum = 0;    int res;    for (int i = 1; i <= n; i++)    {        sum += log(i);    }    res = sum / log(base) + 1;    return res;}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt", "r", stdin);    #endif // LOCAL    while (scanf("%d%d", &n, &base) == 2)    {        printf("%d %d\n", ZeroNum(), DigitNum());    }    return 0;}

大神带你飞。

不理解这个求末尾0的做法：

add 2014.12.30:

正在学习数论，看完书再翻回来看这个代码就懂了。

这是素数的一个基本定理，即：n！的素因子分解种的素数p的幂为：（n / p） + （n / p ^ 2） + （n / p ^ 3） + …

在十进制下，能凑成末尾0的因子是2,5，而对于n！，在因式分解中，2的因子个数要大于5的因子个数（++先到2后到5，so有5必有2）。

所以如果存在一个因子5，必然对应着n！末尾的一个0，所以就变成了求n！中5的因子数，直接由性质得出，见下题poj1401.

转换成base进制下，自然成了找到乘积为base中最大的那个素因子，然后算有几个，最后转换下进制就行了。

#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("in.txt", "r", stdin);    #endif // LOCAL    int n, base;    while (scanf("%d%d", &n, &base) == 2)    {        int num;        double sum = 0;        //计算位数        for (int i = 1; i <= n; i++)        {            sum += log(i);        }        num = sum / log(base) + 1;        //计算末位0的个数        int cnt2 = 0;        int cnt1;        int maxprime;        //找最大素因子        for (int i = 2; i <= base; i++)        {            cnt1 = 0;            while (base % i == 0)            {                maxprime = i;                cnt1++;                base /= i;            }        }        while (n)        {            n /= maxprime;            cnt2 += n;        }        printf("%d %d\n", cnt2 / cnt1, num);    }    return 0;}

poj 1401：

#include <stdio.h>#include <math.h>int findZero(int n, int base){    int cnt2 = 0;    int cnt1;    int maxprime;    for (int i = 2; i <= base; i++)    {        cnt1 = 0;        while (base % i == 0)        {            maxprime = i;            cnt1++;            base /= i;        }    }    while (n)    {        n /= maxprime;        cnt2 += n;    }    return cnt2 / cnt1;}int main(){#ifdef LOCAL    //freopen("in.txt", "r", stdin);#endif // LOCAL    int ncase;    scanf("%d", &ncase);    while (ncase--)    {        int n;        scanf("%d", &n);        printf("%d\n", findZero(n, 10));    }    return 0;}