算法导论 | 第22章基本的图算法

图的基本定义就不细讲了，可以参考“图的理论基础”，写的相当好。这里只是总结。

1：图的种类

图一般分为有向图和无向图；如果给每条边赋予一定的权值，那么这样的图叫网。

2：图的存储结构

常用的数组结构是“邻接矩阵”和“邻接表”。还有两种但是不常用：邻接多重表 和 十字链表。下面主要讲解邻接矩阵和邻接表。

-------邻接矩阵和邻接表的优缺点

①邻接表适用于稀疏图，邻接矩阵适用于稠密图

②另外，由于邻接矩阵简单明了，当图较小时，更多地采用邻接矩阵。

③如果一个图不是加权的，采用邻接矩阵还有一个好处：在储存邻接矩阵的每个元素时，可以只使用一个二进位，而不必用一个字的空间。

④需要快速判断两个结点之间是否有边相连，更多用邻接矩阵（用邻接链表需要遍历Adj[u]）

（1）邻接矩阵

邻接矩阵是指用矩阵来表示图。它是采用矩阵来描述图中顶点之间的关系(及弧或边的权)。 
假设图中顶点数为n，则邻接矩阵定义为：

无向图

有向图

通常采用两个数组来实现邻接矩阵：一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息。 
邻接矩阵的缺点就是比较耗费空间。

（2）邻接表

邻接表是图的一种链式存储表示方法。它是改进后的"邻接矩阵"，它的缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相对邻接矩阵来说更省空间。

无向图

有向图

3：邻接矩阵的表示和代码

（1）基本定义

// 邻接矩阵typedef struct _graph{    char vexs[MAX];       // 顶点集合    int vexnum;           // 顶点数    int edgnum;           // 边数    int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵}Graph, *PGraph;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。 
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

（2）创建矩阵

参考代码：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3707597.html

完整代码示例：https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/source/graph/basic/udg/c/matrix_udg.c

4：邻接表的表示和代码

（1）基本定义

// 邻接表中表对应的链表的顶点typedef struct _ENode{    int ivex;                   // 该边所指向的顶点的位置    struct _ENode *next_edge;   // 指向下一条弧的指针}ENode, *PENode;// 邻接表中表的顶点typedef struct _VNode{    char data;              // 顶点信息    ENode *first_edge;      // 指向第一条依附该顶点的弧}VNode;// 邻接表typedef struct _LGraph{    int vexnum;             // 图的顶点的数目    int edgnum;             // 图的边的数目    VNode vexs[MAX];}LGraph;

(01) LGraph是邻接表对应的结构体。
vexnum是顶点数，edgnum是边数；vexs则是保存顶点信息的一维数组。

(02) VNode是邻接表顶点对应的结构体。
data是顶点所包含的数据，而first_edge是该顶点所包含链表的表头指针。

(03) ENode是邻接表顶点所包含的链表的节点对应的结构体。
ivex是该节点所对应的顶点在vexs中的索引，而next_edge是指向下一个节点的。

（2）创建矩阵

参考代码：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3707607.html

完整代码：https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/source/graph/basic/udg/c/list_udg.c

5：广度优先算法

（1）算法介绍

广度优先搜索算法(Breadth First Search)，又称为"宽度优先搜索"或"横向优先搜索"，简称BFS。 

换句话说，广度优先搜索遍历图的过程是以v为起点，由近至远，依次访问和v有路径相通且路径长度为1,2...的顶点。

①：通过队列来实现！

②：广度优先搜索是很多重要的图算法的原型。在Prim最小生成树和Dijkstra单源最短路径算法中，都采用了与广度优先搜索类似的思想。

③：可以用来求最短路径问题，但只能用于无权图，即每条边的权重都是单位权重图。

（2）无向图

下面以"无向图"为例，来对广度优先搜索进行演示。还是以上面的图G1为例进行说明。

第1步：访问A。
第2步：依次访问C,D,F。
    在访问了A之后，接下来访问A的邻接点。前面已经说过，在本文实现中，顶点ABCDEFG按照顺序存储的，C在"D和F"的前面，因此，先访问C。再访问完C之后，再依次访问D,F。
第3步：依次访问B,G。
    在第2步访问完C,D,F之后，再依次访问它们的邻接点。首先访问C的邻接点B，再访问F的邻接点G。
第4步：访问E。
    在第3步访问完B,G之后，再依次访问它们的邻接点。只有G有邻接点E，因此访问G的邻接点E。

因此访问顺序是：A -> C -> D -> F -> B -> G -> E

（3）有向图

下面以"有向图"为例，来对广度优先搜索进行演示。还是以上面的图G2为例进行说明。

第1步：访问A。
第2步：访问B。
第3步：依次访问C,E,F。
    在访问了B之后，接下来访问B的出边的另一个顶点，即C,E,F。前面已经说过，在本文实现中，顶点ABCDEFG按照顺序存储的，因此会先访问C，再依次访问E,F。
第4步：依次访问D,G。
    在访问完C,E,F之后，再依次访问它们的出边的另一个顶点。还是按照C,E,F的顺序访问，C的已经全部访问过了，那么就只剩下E,F；先访问E的邻接点D，再访问F的邻接点G。

因此访问顺序是：A -> B -> C -> E -> F -> D -> G

6：深度优先算法

（1）算法介绍

图的深度优先搜索(Depth First Search)，和树的先序遍历比较类似。

它的思想：假设初始状态是图中所有顶点均未被访问，则从某个顶点v出发，首先访问该顶点，然后依次从它的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。 若此时尚有其他顶点未被访问到，则另选一个未被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

1：显然，深度优先搜索是一个递归的过程。

2：应用在--有向图分解成强连通分量。

（2）无向图

下面以"无向图"为例，来对深度优先搜索进行演示。

对上面的图G1进行深度优先遍历，从顶点A开始。

第1步：访问A。
第2步：访问(A的邻接点)C。
    在第1步访问A之后，接下来应该访问的是A的邻接点，即"C,D,F"中的一个。但在本文的实现中，顶点ABCDEFG是按照顺序存储，C在"D和F"的前面，因此，先访问C。
第3步：访问(C的邻接点)B。
    在第2步访问C之后，接下来应该访问C的邻接点，即"B和D"中一个(A已经被访问过，就不算在内)。而由于B在D之前，先访问B。
第4步：访问(C的邻接点)D。
    在第3步访问了C的邻接点B之后，B没有未被访问的邻接点；因此，返回到访问C的另一个邻接点D。
第5步：访问(A的邻接点)F。
    前面已经访问了A，并且访问完了"A的邻接点B的所有邻接点(包括递归的邻接点在内)"；因此，此时返回到访问A的另一个邻接点F。
第6步：访问(F的邻接点)G。
第7步：访问(G的邻接点)E。

因此访问顺序是：A -> C -> B -> D -> F -> G -> E

（3）有向图

下面以"有向图"为例，来对深度优先搜索进行演示。

对上面的图G2进行深度优先遍历，从顶点A开始。

第1步：访问A。
第2步：访问B。
    在访问了A之后，接下来应该访问的是A的出边的另一个顶点，即顶点B。
第3步：访问C。
    在访问了B之后，接下来应该访问的是B的出边的另一个顶点，即顶点C,E,F。在本文实现的图中，顶点ABCDEFG按照顺序存储，因此先访问C。
第4步：访问E。
    接下来访问C的出边的另一个顶点，即顶点E。
第5步：访问D。
    接下来访问E的出边的另一个顶点，即顶点B,D。顶点B已经被访问过，因此访问顶点D。
第6步：访问F。
    接下应该回溯"访问A的出边的另一个顶点F"。
第7步：访问G。

因此访问顺序是：A -> B -> C -> E -> D -> F -> G

7：广度优先和深度优先的实现

伪代码可以参考我之前写的《深度优先算法和广度优先算法》

想深入了解完整实现，参考《图的遍历》中下面的C代码实现，比如邻接矩阵实现的无向图

8：拓扑排序

（1）理论意义

将一个有向无环图进行排序，得到一个有序的线性序列。

例如，一个项目包括A、B、C、D四个子部分来完成，并且A依赖于B和D，C依赖于D。现在要制定一个计划，写出A、B、C、D的执行顺序。这时，就可以利用到拓扑排序，它就是用来确定事物发生的顺序的。
在拓扑排序中，如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序结果中B出现在A的后面。

为什么不能包含环？因为其选取第一个无依赖的顶点，然后放入队列再深度搜索。一旦有了环，就不能排出一个先后顺序。

（2）算法步骤

1. 构造一个队列Q(queue) 和 拓扑排序的结果队列T(topological)； 
2. 把所有没有依赖顶点的节点放入Q； 
3. 当Q还有顶点的时候，执行下面步骤： 
3.1 从Q中取出一个顶点n(将n从Q中删掉)，并放入T(将n加入到结果集中)； 
3.2 对n每一个邻接点m(n是起点，m是终点)； 
3.2.1 去掉边<n,m>; 
3.2.2 如果m没有依赖顶点，则把m放入Q; 
注：顶点A没有依赖顶点，是指不存在以A为终点的边。

（3）举例说明

以上图为例，来对拓扑排序进行演示。

第1步：将B和C加入到排序结果中。
    顶点B和顶点C都是没有依赖顶点，因此将C和C加入到结果集T中。假设ABCDEFG按顺序存储，因此先访问B，再访问C。访问B之后，去掉边<B,A>和<B,D>，并将A和D加入到队列Q中。同样的，去掉边<C,F>和<C,G>，并将F和G加入到Q中。
    (01) 将B加入到排序结果中，然后去掉边<B,A>和<B,D>；此时，由于A和D没有依赖顶点，因此并将A和D加入到队列Q中。
    (02) 将C加入到排序结果中，然后去掉边<C,F>和<C,G>；此时，由于F有依赖顶点D，G有依赖顶点A，因此不对F和G进行处理。
第2步：将A,D依次加入到排序结果中。
    第1步访问之后，A,D都是没有依赖顶点的，根据存储顺序，先访问A，然后访问D。访问之后，删除顶点A和顶点D的出边。
第3步：将E,F,G依次加入到排序结果中。

因此访问顺序是：B -> C -> A -> D -> E -> F -> G

注意：遍历结点i的子节点的时候，会删掉i发出的边；当将结点i的子节点放入队列时，要考察该子节点是否含有“其他父节点”，如果有的话，就不放入队列！

（4）基本定义

// 邻接表中表对应的链表的顶点typedef struct _ENode{    int ivex;                   // 该边所指向的顶点的位置    struct _ENode *next_edge;   // 指向下一条弧的指针}ENode, *PENode;// 邻接表中表的顶点typedef struct _VNode{    char data;              // 顶点信息    ENode *first_edge;      // 指向第一条依附该顶点的弧}VNode;// 邻接表typedef struct _LGraph{    int vexnum;             // 图的顶点的数目    int edgnum;             // 图的边的数目    VNode vexs[MAX];}LGraph;

(01) LGraph是邻接表对应的结构体。 vexnum是顶点数，edgnum是边数；vexs则是保存顶点信息的一维数组。
(02) VNode是邻接表顶点对应的结构体。 data是顶点所包含的数据，而firstedge是该顶点所包含链表的表头指针。
(03) ENode是邻接表顶点所包含的链表的节点对应的结构体。 ivex是该节点所对应的顶点在vexs中的索引，而nextedge是指向下一个节点的。

（5）拓扑排序的实现

参考链接：拓扑排序

9：强连通分量

（1）主要应用深度优先算法

强连通分支定义：有向图G = （V, E）的一个强连通分支----一个最大顶点集合C ∈V，对于C中的每一对顶点u和v，有u->v和v->u；亦即，顶点u和v是互相可达的。

（2）步骤

先上伪代码：

STRONGLY-CONNECTED-COMPONENTS (G)1  call DFS (G) to compute finishing times f[u] for each vertex u2  compute GT3  call DFS (GT), but in the main loop of DFS, consider the vertices          in order of decreasing f[u] (as computed in line 1)4  output the vertices of each tree in the depth-first forest formed in line 3 as a          separate strongly connected component

①先通过深度优先遍历求得各个节点的结束时间v.f

②求图的转置GT

③在GT中选取结束时间点最晚的结点开始深度优先遍历。

④遍历得到的，就是所求的强连通分支。

10：相关例题

图的算法