数组中最出现一次的元素

问题：给定一个数组 a0,a1,a2,...an ，其中只有两个元素出现一次，其它的元素都出现两次，找出这两个元素是多少。要求时间复杂度为 n，空间复杂度为 1。

这个问题可以快速排序（就地排序，不用额外空间）再遍历。但这样的时间复杂度为 n*lgn，不满足要求。或者可以使用某种哈希结构用来记录每个元素出现的情况，最后遍历。但这样做需要额外的空间，也不满足要求。

那么，我们只能另外想办法了。问题中的条件我们没有充分利用，“其它的元素都出现两次”，为什么是两次，不是三次？这里有何玄机？我们能不能将出现两次的元素这些噪声数据去掉，只剩下我们要求的数据呢？答案是利用异或运算，两个相同的数异或后等于 0，任何数与 0 异或等于本身。

于是，我们可以把 a0,a1,...an 全部异或起来，结果 g = x ^ y，这里的 x 和 y 就是所求的两个只出现一次的元素。现在的问题是，我们手上只有一个数 g ，那么，如何把它利用起来呢？

我们设想一种简单的问题，如果这个数组中只有一个出现一次的数，那么，g 就是所求的数。

我们随时要有分治以及合并的思想！

观察一下，将这个简单的问题合并不就是所求的问题吗？现在有两个数组，a0,a1,a2...an 和 b0,b1,b2...bn ，两个数组里面各只有一个出现一次的数字，其它的数都出现了两次，且这两个数组没有公共的数字。我们合并这两个数组，不就是所求的问题了吗？

反过来，我们能不能把所求的问题转换为两个简单的问题再解决呢？设两个出现一次的元素分别为 x 和 y。

转换有两个关键点：

1.将 x 和 y 划分到不同的数组中。

2.相同的元素要划分到同一个数组中。

这实在是一个比较难的问题，因为现在可以利用的条件只有 g 这个值。划分需要借用一个技巧，这里直接给出吧。

我们想像 g 上面为 1 的那些位（x !=  y，所以 g 不 0，因此 g 不可能全部位都为 0，必存在某一位为 1），1 = 0 ^ 1 = 1 ^ 0。我们可以利用某一个位上的值（0 或者 1）来划分数组，刚好它把 x  和 y 区分开。我们任意选择 g 的二进制位上为 1 的那一位，设为第 p 位。作如下划分：

（原问题的）数组 a0,a1,a2...an 中，每个元素的值的第 p 位为 1 的划分到 A1 数组，否则划分到 A2 数组。再分别求这两个数组的惟一元素。当然，并不能真正构建两个数组，因为问题有空间复杂度的限制。下面给出相关核心代码：

问题推广

如果问题改为：给定一个数组 a0,a1,a2,...an ，其中只有三个元素出现一次，其它的元素都出现两次，找出这三个元素是多少。

我们还用原来的办法来做，划分为两个数组的时候会遇到麻烦。因为求所有元素异或的结果 g 可能等于0。（三个不相同的数字异或可能为0，如a = 1,b = 2,c = 3时，a ^ b ^ c = 0）。这是一个不好解决的点。

退一步讲，设 g != 0，取 g 的二进制中最后一次出现 1 的位为 b ，因为 1 = 0 ^ 1 ^ 0 = 1 ^ 1 ^ 1；也就是说，存在两种情况：设三个只出现一次的元素是 x , y ,z，

1. x,y,z第 b 位全为 1

2.某两个第 b 位为0，一个为1

如果是第二种情况还比较好解决，我们先处理那个第 b 位为 1 的元素所在的数组，可以得到这个元素，那么，我们在原数组中去掉这个元素，于是问题又转换为了上面一个问题。

如果是第一种情况，似乎是不好解决的。

综上，这个问题与上面的问题不太一样，不能以 g 的二进制位为 1 来划分数组。得另外想办法。但我们必须牢牢记住一点，我们可以用于划分的条件只有 g。所以，我们还是得围绕 g 来想办法。我们用 g 与每一个元素再异或，能不能有所发现呢？设三个所求的元素是 x,y,z。

我们现在的任务是找到可区分 g ^ x 和 g ^y 和g ^ z 这三个数字的条件。如果要划分，肯定还是以某位是否为 1 来划分的，这意味着，先要证明这三个数都是非 0的。

由于g = x ^ y ^ z ^ (其它元素两两相异或) = x ^ y ^ z，那么：

g ^ x = y ^ z

g ^ y = x ^ z

g ^ z = x ^ y

而 x,y,z三个数字两两不等，所以 g ^ x , g ^ y , g ^ z 都不为 0；以这三个数字分别为 gx,gy,gz，延续之前的思路，能不能以 gx,gy,gz 某一位为 1 的位 b 作为区分条件呢？这就意味着，这三个数字分别的 b，即b1, b2 ,b3 不能全部为 1，否则不能区分。

我们用反证法来证明。如果这三个数字的第 b 位都为1，则 y ^ z ，x ^ z ，x ^ y 的第 b 位都为1。可以假设 y, z 第 b 位分别为 0，1或者1，0，而 x ,z 第 b 位分别为 0，1或者 1 ，0；z 为假设的共同所在，所以存在以下取值：

y,z,x : 0,1,0 或 1,0,1。这两种取值都导致 y ^ x = 0，这与之前的假设矛盾，所以 y ^ z ，x ^ z ，x ^ y 的第 b 位不都为 1。

其实也可以这样证明，由于 gx ^ gy ^ gz = (y ^ z) ^ (x ^ z) ^ (x ^ y) = g ^ g ^ g ^ x ^ y ^ z = g ^ g ^ g ^ g = 0，所以，不可能出现 gx , gy ,gz 这三个数字的某一位同时为 1，否则 gx ^ gy ^ gz 就不为 0 了，与上面矛盾，而且，这三个数字的同一位上的值只有可能是这样的：两个 1，一个0；或者三个 0；

因此，可以用这样的步骤去划分：

1.计算 gx, gy, gz

2.取 gx 的最后一位为 1 的那个位，记为第 b 位，则 gy , gz 中必有一个的 b 位为1，一个为0；

3.将 b 位上为 1 的划分到一个数组，为 0 的划分到一个数组。

4.找出 b 位为 0 的那个只出现一次的元素，将它从原数组中剔除（放到原数组的末尾）。

5.直接使用上一个问题的解法，找出剩下的两个只出现一次的元素。

至此，问题得解。