基础几何知识及公式

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1.1  注意

1. 注意舍入方式(0.5的舍入方向);防止输出-0. 2. 几何题注意多测试不对称数据. 3. 整数几何注意xmult和dmult是否会出界; 符点几何注意eps的使用. 4. 避免使用斜率;注意除数是否会为0. 5. 公式一定要化简后再代入. 6. 判断同一个2*PI域内两角度差应该是   abs(a1-a2)<beta||abs(a1-a2)>pi+pi-beta; 相等应该是   abs(a1-a2)<eps||abs(a1-a2)>pi+pi-eps; 7. 需要的话尽量使用atan2,注意:atan2(0,0)=0,    atan2(1,0)=pi/2,atan2(-1,0)=-pi/2,atan2(0,1)=0,atan2(0,-1)=pi. 8. cross product = |u|*|v|*sin(a)    dot product = |u|*|v|*cos(a) 9. (P1-P0)x(P2-P0)结果的意义: 正: <P0,P1>在<P0,P2>顺时针(0,pi)内负: <P0,P1>在<P0,P2>逆时针(0,pi)内   0 : <P0,P1>,<P0,P2>共线,夹角为0或pi 10. 误差限缺省使用1e-8! 

1.2  几何公式

三角形: 1. 半周长 P=(a+b+c)/2 2. 面积 S=aHa/2=absin(C)/2=sqrt(P(P-a)(P-b)(P-c)) 3. 中线 Ma=sqrt(2(b^2+c^2)-a^2)/2=sqrt(b^2+c^2+2bccos(A))/2 4. 角平分线 Ta=sqrt(bc((b+c)^2-a^2))/(b+c)=2bccos(A/2)/(b+c) 5. 高线 Ha=bsin(C)=csin(B)=sqrt(b^2-((a^2+b^2-c^2)/(2a))^2) 26 6. 内切圆半径 r=S/P=asin(B/2)sin(C/2)/sin((B+C)/2)                =4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)/P)                =Ptan(A/2)tan(B/2)tan(C/2) 7. 外接圆半径 R=abc/(4S)=a/(2sin(A))=b/(2sin(B))=c/(2sin(C)) 四边形: D1,D2为对角线,M对角线中点连线,A为对角线夹角1. a^2+b^2+c^2+d^2=D1^2+D2^2+4M^2 2. S=D1D2sin(A)/2 (以下对圆的内接四边形) 3. ac+bd=D1D2 4. S=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)(P-d)),P为半周长正n边形: R为外接圆半径,r 为内切圆半径1. 中心角 A=2PI/n 2. 内角 C=(n-2)PI/n 3. 边长 a=2sqrt(R^2-r^2)=2Rsin(A/2)=2rtan(A/2) 4. 面积 S=nar/2=nr^2tan(A/2)=nR^2sin(A)/2=na^2/(4tan(A/2)) 圆: 1. 弧长 l=rA 2. 弦长 a=2sqrt(2hr-h^2)=2rsin(A/2) 3. 弓形高 h=r-sqrt(r^2-a^2/4)=r(1-cos(A/2))=atan(A/4)/2 4. 扇形面积 S1=rl/2=r^2A/2 5. 弓形面积 S2=(rl-a(r-h))/2=r^2(A-sin(A))/2 棱柱: 1. 体积 V=Ah,A为底面积,h为高2. 侧面积 S=lp,l为棱长,p为直截面周长3. 全面积 T=S+2A 棱锥: 1. 体积 V=Ah/3,A为底面积,h为高(以下对正棱锥) 2. 侧面积 S=lp/2,l为斜高,p为底面周长3. 全面积 T=S+A 棱台: 1. 体积 V=(A1+A2+sqrt(A1A2))h/3,A1.A2为上下底面积,h为高(以下为正棱台) 2. 侧面积 S=(p1+p2)l/2,p1.p2为上下底面周长,l为斜高3. 全面积 T=S+A1+A2 27 圆柱: 1. 侧面积 S=2PIrh 2. 全面积 T=2PIr(h+r) 3. 体积 V=PIr^2h 圆锥: 1. 母线 l=sqrt(h^2+r^2) 2. 侧面积 S=PIrl 3. 全面积 T=PIr(l+r) 4. 体积 V=PIr^2h/3 圆台: 1. 母线 l=sqrt(h^2+(r1-r2)^2) 2. 侧面积 S=PI(r1+r2)l 3. 全面积 T=PIr1(l+r1)+PIr2(l+r2) 4. 体积 V=PI(r1^2+r2^2+r1r2)h/3 球: 1. 全面积 T=4PIr^2 2. 体积 V=4PIr^3/3 球台: 1. 侧面积 S=2PIrh 2. 全面积 T=PI(2rh+r1^2+r2^2) 3. 体积 V=PIh(3(r1^2+r2^2)+h^2)/6 球扇形: 1. 全面积 T=PIr(2h+r0),h为球冠高,r0为球冠底面半径2. 体积 V=2PIr^2h/3 

1.3  多边形

#include <stdlib.h> #include <math.h> #define MAXN 1000 #define offset 10000 #define eps 1e-8 #define zero(x) (((x)>0?(x):-(x))<eps) #define _sign(x) ((x)>eps?1:((x)<-eps?2:0)) struct point{double x,y;}; struct line{point a,b;}; double xmult(point p1,point p2,point p0){  return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y); 28 } //判定凸多边形,顶点按顺时针或逆时针给出,允许相邻边共线int is_convex(int n,point* p){  int i,s[3]={1,1,1};  for (i=0;i<n&&s[1]|s[2];i++)   s[_sign(xmult(p[(i+1)%n],p[(i+2)%n],p[i]))]=0;  return s[1]|s[2]; } //判定凸多边形,顶点按顺时针或逆时针给出,不允许相邻边共线int is_convex_v2(int n,point* p){  int i,s[3]={1,1,1};  for (i=0;i<n&&s[0]&&s[1]|s[2];i++)   s[_sign(xmult(p[(i+1)%n],p[(i+2)%n],p[i]))]=0;  return s[0]&&s[1]|s[2]; } //判点在凸多边形内或多边形边上,顶点按顺时针或逆时针给出int inside_convex(point q,int n,point* p){  int i,s[3]={1,1,1};  for (i=0;i<n&&s[1]|s[2];i++)   s[_sign(xmult(p[(i+1)%n],q,p[i]))]=0;  return s[1]|s[2]; } //判点在凸多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出,在多边形边上返回0 int inside_convex_v2(point q,int n,point* p){  int i,s[3]={1,1,1};  for (i=0;i<n&&s[0]&&s[1]|s[2];i++)   s[_sign(xmult(p[(i+1)%n],q,p[i]))]=0;  return s[0]&&s[1]|s[2]; } //判点在任意多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出//on_edge表示点在多边形边上时的返回值,offset 为多边形坐标上限int inside_polygon(point q,int n,point* p,int on_edge=1){  point q2;  int i=0,count;  while (i<n)   for (count=i=0,q2.x=rand()+offset,q2.y=rand()+offset;i<n;i++)    if (zero(xmult(q,p[i],p[(i+1)%n]))&&(p[i].x-q.x)*(p[(i+1)%n].x-q.x)<eps&&(p[i].y-q.y)*(p[(i+1)%n].y-q.y)<eps) 29     return on_edge;    else if (zero(xmult(q,q2,p[i])))     break;    else  if (xmult(q,p[i],q2)*xmult(q,p[(i+1)%n],q2)<-eps&&xmult(p[i],q,p[(i+1)%n])*xmult(p[i],q2,p[(i+1)%n])<-eps)     count++;  return count&1; } inline int opposite_side(point p1,point p2,point l1,point l2){  return xmult(l1,p1,l2)*xmult(l1,p2,l2)<-eps; } inline int dot_online_in(point p,point l1,point l2){  return zero(xmult(p,l1,l2))&&(l1.x-p.x)*(l2.x-p.x)<eps&&(l1.y-p.y)*(l2.y-p.y)<eps; } //判线段在任意多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出,与边界相交返回1 int inside_polygon(point l1,point l2,int n,point* p){  point t[MAXN],tt;  int i,j,k=0;  if (!inside_polygon(l1,n,p)||!inside_polygon(l2,n,p))   return 0;  for (i=0;i<n;i++)   if (opposite_side(l1,l2,p[i],p[(i+1)%n])&&opposite_side(p[i],p[(i+1)%n],l1,l2))    return 0;   else if (dot_online_in(l1,p[i],p[(i+1)%n]))    t[k++]=l1;   else if (dot_online_in(l2,p[i],p[(i+1)%n]))    t[k++]=l2;   else if (dot_online_in(p[i],l1,l2))    t[k++]=p[i];  for (i=0;i<k;i++)   for (j=i+1;j<k;j++){    tt.x=(t[i].x+t[j].x)/2;    tt.y=(t[i].y+t[j].y)/2;    if (!inside_polygon(tt,n,p))     return 0;      }  return 1; } point intersection(line u,line v){ 30  point ret=u.a;  double t=((u.a.x-v.a.x)*(v.a.y-v.b.y)-(u.a.y-v.a.y)*(v.a.x-v.b.x))    /((u.a.x-u.b.x)*(v.a.y-v.b.y)-(u.a.y-u.b.y)*(v.a.x-v.b.x));  ret.x+=(u.b.x-u.a.x)*t;  ret.y+=(u.b.y-u.a.y)*t;  return ret; } point barycenter(point a,point b,point c){  line u,v;  u.a.x=(a.x+b.x)/2;  u.a.y=(a.y+b.y)/2;  u.b=c;  v.a.x=(a.x+c.x)/2;  v.a.y=(a.y+c.y)/2;  v.b=b;  return intersection(u,v); } //多边形重心point barycenter(int n,point* p){  point ret,t;  double t1=0,t2;  int i;  ret.x=ret.y=0;  for (i=1;i<n-1;i++)   if (fabs(t2=xmult(p[0],p[i],p[i+1]))>eps){    t=barycenter(p[0],p[i],p[i+1]);    ret.x+=t.x*t2;    ret.y+=t.y*t2;    t1+=t2;   }  if (fabs(t1)>eps)   ret.x/=t1,ret.y/=t1;  return ret; }