beatty定理 与 威佐夫博奕



高斯取整函数又叫向下取整函数，常见的记法如下： ，既然是向下取整，也就是说[-3.5]=-4，这个取整对负数来说就不是简单地扔掉小数部分，这是要注意的。可以说,高斯取整是联系连续和离散的重要桥梁。

小知识：高斯函数性质

1) x-1<[x]<=x<[x]+1

2) [x+n]=[x]+n,(n为整数)

3) [x]+[y]<=[x+y]<=[x]+[y]+1  //左边由性质2易证,右边利用[x+y]<=x+y<[x]+[y]+2

4) [nx]>=n[x],(n为正整数)  //反复利用性质3左边

5) [x/n]=[[x]/n],(n为正整数) 

// 换元后等价于证[ny]/n-1<[y]<=[ny]/n,右边由性质4易证,左边有 [ny]/n<=[y]+{y}<[y]+1

欧拉给出过一个很经典的多项式： ，该多项式在n=0,1,2,…,39时产生40个素数。利用高斯取整函数，可以做一件差不多的事：

，这个函数跳过所有的平方数，而且值域覆盖所有非完全平方数构成的集合，有了上面的这些性质作武器，证明并不难，这里就略去了。

今天的主题还是Beatty定理：

正无理数 满足 ， 则数列 ； 严格递增，

并且集合 ； 构成Z+上的一个分划。

[题解]：

其实作为习题是不难的，显然 ，于是 ，故

先证明两数列不交：[反证]若 ,有 ,即有 ，

两式相加：得k<m+n<k+1，这和m,n,k都为自然数矛盾．

再证两数列能取遍所有的正整数：[反证]若k不在 中，则有

于是

 

两式分别除以和 后相加：得 ,这和m,n,k都为自然数矛盾．

证毕.

由Beatty定理得到的两个数列称为互质数列，不过别被名称所欺骗，a[n]和b[n]并不能保证对应互质。