DP--HDU 1003（最大子串和）

问题描述：
         给定整数A1， A2，……AN （可能有负数），求I到j的最大值。
例如：
         -2, 11, -4, 13, -5, -2时答案为20
　　对于这个问题的算法有很多，当然我要说的是使用“动态规划”算法实现的程序，对于这个算法，我可以说很多人都曾经想到，但是没有想全（因为我就是这样的）。还有一点对于这个问题的动态规划的解法是非常经典的，她的时间复杂度是O(n),也就是线性的。而对于穷举法它的时间复杂度可是O(n3), 这样看来可以巨大的改进了。
　　考虑这样的一个问题，我们从最简单的左边开始看，就如上面的例子，-2对于结果有影响吗？回答是没有。那么让我们看下面这样一个例子：
         6, -7, ……
         此时，我们还需要考虑6 和 –7 吗，有些人说要的，因为可能对于6，后面没有比其更大的了，是啊。问题是这样的。那么对于后面的结果分析其有影响吗？这个时候我们可以说没有影响的！
         到现在，上面是不是大家多曾经想到了呢？呵呵，我曾经就想到了，那我们为什么不把这问题，推倒后面呢？动态规划法就是解决这样的一个问题，我们知道此时前面的两个数就是一种最优的子结构（尽管只有2个数，不过是完全可以推广的。）
         书中的算法就告诉我们是如何推广的，我写这样的一篇文章的具体目的也就是为了说明以上的问题，因为我和大家一样都曾经想到了前面的算法，却没有考虑下去。以此感慨！并遗憾！
         那么书中的算法是这样的：（看这个算法之前应该先知道这个问题的“分治法”的求解，这样更让你觉得，这个算法的完美之处。）

Int MaxSubsequenceSum(const int A[], int N){         int ThisSum, MaxSum, j;         ThisSum = MaxSum = 0;         For(j=0; j < N; j++){                ThisSum += A[j];                If (ThisSum > MaxSum)                       MaxSum = ThisSum;                Else if(ThisSum < 0)                       ThisSum = 0;}return MaxSum;} 

对于这个算法的分析(逻辑):

　　从左相右相加，若结果不断的增加，那么ThisSum将同MaxSum一起增加，如果遇到负数，那么也加到ThisSum上去，但是此时ThisSum < MaxSum，那么就不加。看ThisSum是不是会回升，若一直不回升，不断或是波浪型的下降，那么当它降到0时，说明前一段与后一段是可以抛弃的。正如有 7 ， -8 一样，我们可以不要这两个数，但是我们知道MaxSum依然保存着前一段的最大值，（这就是这个算法中的厉害，我认为）。然后，ThisSum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前MaxSum大的子段，然后替换（此时可以彻底抛弃前一段）。这样一趟扫描结果也就出来了。
后记：
         对于这个问题，一开始对于分治算法，我们可能很容易想对，而对与动态规划可能我们很难想到（至少我没有那么轻易就想到了）。尽管如此，还是比较庆幸想到了其最优子结构，问题解决到此，当然对于这个问题，我们还是可以用“分治”算法，其时间复杂度为:O(nlogn)，也是比较优的，当然没有上面提到的优。   

摘自：http://hi.baidu.com/longchengjiang/blog/item/7a5f2ad894a6d33733fa1c94%2Ehtml

补充：如果输入的所有整数为负，最大值为0.，原因是当子序列为空时，包含0个整数，也是子序列，它的和即为0，因为空子序列是连续的，所以总有一个连续子序列，它的和为0。（考虑空子序列的问题：空子序列也是子序列，它的和为0）

PS：MaxSum在这个算法中是一个中间变量，用来记录子问题的最值，而ThisSum是计算子问题的具体方法。

在网上搜到这篇，感觉讲得很通俗，易于理解。

下面附上此类问题的四种算法：

#include <iostream.h>#include <stdio.h>int MaxSubSum1( const int A[], int N);int MaxSubSum2( const int A[], int N);int MaxSubSum3( const int A[], int N);int MaxSubSum4( const int A[], int N);const int M = 10;int main(){ int B[M];    cout<< "请输入 " << M << " 个整数：  "<< endl;  for ( int i=0; i < M; i++ ) {  cin>> B[i]; } cout<< " 您输入的 " << M << " 个数为：  "<< endl; for ( i = 0; i < M; i++ ) {  cout<< B[i] <<", "; } cout<< " --------------------------------------- " << endl; cout<< "四个函数的运算结果分别为:" << endl; cout<< "-------------------------" << endl;    cout<< MaxSubSum1( B, M ) << endl;    cout<< MaxSubSum2( B, M ) << endl;    cout<< MaxSubSum3( B, M ) << endl;    cout<< MaxSubSum4( B, M ) << endl; return 0;}int MaxSubSum1( const int A[], int N)  /*  第一种方法: 穷举 */{ int ThisSum, MaxSum; MaxSum = 0; for (int i=0; i < N; i++ ) {  for ( int j=i; j < N; j++ )  {   ThisSum = 0;   for ( int k=i; k <= j; k++ )   {    ThisSum += A[k];   }   if ( ThisSum > MaxSum )   {    MaxSum = ThisSum;   }  } } return (MaxSum); }int MaxSubSum2( const int A[], int N)  /*  第二种方法: 分治 */{ int ThisSum, MaxSum; MaxSum = 0; for (int i=0; i < N; i++ ) {  ThisSum = 0;    for ( int j=i; j < N; j++ )  {   ThisSum += A[j];      if ( ThisSum > MaxSum )   {    MaxSum = ThisSum;   }  } } return (MaxSum); } /*  -----------------------------------------------------------------第三种方法: 二分法 */static int BiMaxSubSum( const int A[], int Left, int Right );int MaxSubSum3 ( const int A[], int N ) {  return BiMaxSubSum ( A, 0, N - 1 ); }static int BiMaxSubSum( const int A[], int Left, int Right ){ int MaxSum, MaxLeftSum, MaxRightSum; int LeftBorderSum, RightBorderSum; int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;    int Center; if ( Left == Right ) {  if ( A[Left] > 0 )  {   return A[Left];  }  else  {   return 0;  } }    Center = ( Left + Right ) / 2; MaxLeftSum = BiMaxSubSum( A, Left, Center ); MaxRightSum = BiMaxSubSum( A, Center + 1, Right ); MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0; for ( int i = Center; i >= Left; i-- ) {  LeftBorderSum += A[i];  if ( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )  {   MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;  } } MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0; for ( i = Center + 1; i <= Right; i++ ) {  RightBorderSum += A[i];  if ( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )  {   MaxRightBorderSum = RightBorderSum;  } } MaxSum = ( (MaxRightSum > MaxLeftSum ) ? MaxRightSum : MaxLeftSum ); int tmp = MaxRightBorderSum + MaxLeftBorderSum; return ( ( MaxSum > tmp ) ? MaxSum : tmp );}  int MaxSubSum4( const int A[], int N)  /*  第四种方法:  */{ int ThisSum, MaxSum; ThisSum = MaxSum = 0; for (int i=0; i < N; i++ ) {  ThisSum += A[i];  if ( ThisSum > MaxSum )  {   MaxSum = ThisSum;  }    else if ( ThisSum < 0 )  {   ThisSum = 0;  } } return (MaxSum); }

但是由于题目还要求 左右节点,,故法4修改如下

#include<iostream>using namespace std;int main(){int T,n;int aq[100000];while(cin>>T){for(int k=1;k<=T;k++){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>aq[i];int now=aq[1],sum=aq[1],left=1,right=1,oa=1;for(int j=2;j<=n;j++){if(now<0){now=aq[j];oa=j;}else now+=aq[j];if(now>=sum){left=oa;right=j;sum=now;}}if(k!=1)cout<<endl;cout<<"Case "<<k<<":"<<endl<<sum<<" "<<left<<" "<<right<<endl;  }}return 0;}